Fandom

Science Wiki

Άθροιση

63.285pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Άθροισις

Summation


Numbers-03-goog.jpg

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη
Τελεστής

Η Άθροιση είναι η πρόσθεση ενός συνόλου αριθμών. Το αποτέλεσμα της είναι το άθροισμα. Οι "αριθμοί" προς πρόσθεση μπορεί να είναι φυσικοί αριθμοί, μιγαδικοί αριθμοί, πίνακες, ή ακόμη περιπλοκότερα αντικείμενα. Ένα άπειρο άθροισμα είναι μιά διαδικασία γνωστή ως σειρά.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "άθροιση" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "άθροισμα".

Συμβολισμός Edit

Το άθροισμα των 1, 2 και 4 είναι 1 + 2 + 4 = 7. Αφού η πρόσθεση είναι επιμεριστική ιδιότητα, δεν παίζει ρόλο αν ερμηνεύουμε το "1 + 2 + 4" ως (1 + 2) + 4 ή ως 1 + (2 + 4). Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, οπότε οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται σε ένα άθροισμα. Η πρόσθεση είναι επίσης αντιμεταθετική ιδιότητα, οπότε η σειρά με την οποία γράφονται οι αριθμοί δεν επηρεάζει το άθροισμα.

Εάν ένα άθροισμα έχει πάρα πολλούς όρους για να γραφτούν όλοι ξεχωριστά, το άθροισμα μπορει να γραφτει με ένα σύμβολο αποσιωπητικών ώστε να σημειωθούν οι παραλειπόμενοι όροι. Κατά αυτό τον τρόπο, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από το 1 εώς το 100 είναι 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.

Τα αθροίσματα μπορούν να αναπαρασταθούν με το σύμβολο της άθροισης, ένα κεφαλαίο σίγμα. Αυτό ορίζεται ως εξής:

\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +\cdots+ x_{n-1} + x_n.

Η υπόστιξη δίνει το σύμβολο για μιά μεταβλητή-δείκτη (dummy variable), το i. Εδώ, το i εκπροσωπεί τον δείκτη της άθροισης· το m είναι το κάτω όριο της άθροισης, και το n είναι το πάνω όριο της άθροισης. Άρα, για παράδειγμα:

\sum_{x=2}^6 x^2 = 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 90.

Κάποιος συχνά βλέπει γενικεύσεις αυτού του συμβολισμού στην περίπτωση στην οποία παρέχεται μιά αυθαίρετη λογική συνθήκη, και το άθροισμα κρίνεται σκόπιμο να αναχθεί σε όλες τις τιμές που αντιπροσωπεύουν την συνθήκη. Για παράδειγμα, το:

\sum_{0\le x< 100} f(x)

είναι το άθροισμα της f(x) για όλους τους (ακέραιους) αριθμούς x στον συγκεκριμένο διάστημα, το

\sum_{x\in S} f(x)

είναι το άθροισμα της f(x) για όλους τους ακέραιους αριθμούς x σε ένα σύνολο S, και το

\sum_{d|n}\;\mu(d)

είναι το άθροισμα της μ(d) για όλους τους ακέραιους αριθμούς d που διαιρούν τον n.

Υπάρχουν επίσης τρόποι για την γενίκευση της χρήσης των διαφόρων συμβόλων σίγμα. Για παράδειγμα, το

\sum_{\ell,\ell'}

είναι το ίδιο με το

\sum_\ell\sum_{\ell'}.

Υπολογιστικός συμβολισμός Edit

Τα αθροίσματα μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν σε μια προγραμματιστική γλώσσα. Το

 \sum_{i=m}^{n} x_{i}

υπολογίζεται από το ακόλουθο πρόγραμμα σε C / C++ / Javascript:

 sum=0;
 for(i=m; i<=n; i++)
     sum += x[i];

και το ακόλουθο πρόγραμμα σε Pascal:

 sum:=0;
 for i:=m to n do
     sum:=sum+x[i];

Ειδικές περιπτώσεις Edit

Είναι δυνατό να προστεθούν λιγότεροι από 2 αριθμοί:

  • Αν προστεθεί ο μόνος όρος x, τότε το άθροισμα είναι x.
  • Αν προστεθούν μηδενικοί όροι, τότε το άθροισμα είναι μηδέν, αφού το μηδέν είναι ο ουδέτερος όρος (identity) για την πρόσθεση. Αυτό είναι γνωστό σαν το κενό άθροισμα.

Αυτές οι εκφυλισμένες περιπτώσεις συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο όταν ο συμβολισμός της πρόσθεσης δίνει ένα εκφυλισμένο αποτέλεσμα σε μιά ειδική περίπτωση. Για παράδειγμα, αν m = n στον παραπάνω ορισμό, τότε υπάρχει μόνο ένας όρος στο άθροισμα· αν m = n + 1, τότε δεν υπάρχει κανένας.

Προσέγγιση με ορισμένα ολοκληρώματα Edit

Πολλές τέτοιες προσεγγίσεις μπορούν να ανακτηθούν από την ακόλουθη σύνδεση μεταξύ αθροισμάτων και ολοκληρωμάτων, η οποία ισχύει για κάθε αύξουσα συνάρτηση f.

 \int_{s=a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\, ds.

Για πιό γενικές προσεγγίσεις, βλέπε Τύπος Euler-Maclaurin.

Για συναρτήσεις οι οποίες είναι ολοκληρώσιμες στο διάστημα [a,b], το Ρημάνειο άθροισμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση του ορισμένου ολοκληρώματος. Για παράδειγμα, ο ακόλουθος τύπος είναι το Ρημάνειο άθροισμα με ίση κατάτμηση του διαστήματος:

 \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right)\approx \int_a^b f(x)\,dx.

Η ακρίβεια μια τέτοιας προσέγγισης αυξάνει με τον αριθμό n των υποδιαστημάτων.

Ταυτότητες Edit

Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες ταυτότητες:

όπου B_k είναι ο k-οστός αριθμός Bernoulli.

Ρυθμοί αύξησης Edit

Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες προσεγγίσεις (χρησιμοποιώντας συμβολισμό theta):

  • \sum_{i=1}^n i^c = \Theta(n^{c+1}) για πραγματικό αριθμό c μεγαλύτερο του -1
  • \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \Theta(\log n)
  • \sum_{i=1}^n c^i = \Theta(c^n) για πραγματικό αριθμό c μεγαλύτερο του 1
  • \sum_{i=1}^n \log(i)^c = \Theta(n \cdot \log(n)^{c}) για μη-αρνητικό πραγματικό αριθμό c
  • \sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d = \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c}) για μη-αρνητικούς παραγματικούς αριθμούς c, d
  • \sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \cdot b^i = \Theta (n^d \cdot \log(n)^c \cdot b^n) για μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς b > 1, c, d

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki