Fandom

Science Wiki

Έλλειψη \Καμπύλη

63.285pages on
this wiki
Add New Page
Talk3 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Έλλειψις

Ellipse


CurvesEllipse01-wik.png

Σχήμα μιας έλλειψης όπου φαίνονται τα βασικά της στοιχεία.

Eccentricity-03-goog.jpg

εκκεντρότητα

Eccentricity-04-goog.jpg

Ήλιος και Γη.

- Μία γεωμετρική καμπύλη και ακριβέστερα μία Κωνική Τομή.

ΟρισμόςEdit

Έστω δύο σημεία E_1, E_2 σε ένα Ευκλείδειο Επίπεδο με απόσταση 2γ μεταξύ τους και ένας θετικός αριθμός \alpha>\gamma.

Έλλειψη ονομάζεται ο Γεωμετρικός Τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από τα σημεία E_1, E_2 έχουν άθροισμα ίσο με 2α.

Η έλλειψη είναι μία Κωνική Τομή και μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, αφού για E_1=E_2 ανάγεται σε αυτόν.

Βασικές ΈννοιεςEdit

CurvesEllipse02-wik.png

έλλειψη

Τα σημεία E_1, E_2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης.

Το μέσο Ο του ευθύγραμμου τμήματος E_1 E_2 ονομάζεται κέντρο της έλλειψης. Το κέντρο της έλλειψης αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής.

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης.

Μία έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας, οι οποίες είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται μικρός και μεγάλος άξονας αντίστοιχα. O μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2α, γεγονός που προκύπτει εύκολα από τον ορισμό της έλλειψης. O μικρός άξονας έχει μήκος 2β, \beta^2=\alpha^2-\gamma^2. Αυτό προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο E_1 AO (βλ. σχήμα).

Ο αριθμός \varepsilon=\gamma/\alpha,\; 0\leq\varepsilon<1 ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και δηλώνει πόσο "επιμήκης" ή "πεπλατυσμένη" είναι η έλλειψη.

  • Για \varepsilon=0 έχουμε κύκλο,
  • ενώ για ε κοντά στο 1 μία "επιμήκη" έλλειψη.

Εξισώσεις της έλλειψηςEdit

Κανονική μορφήEdit

Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και οι αξονές της είναι πάνω στους άξονές του.

Σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες εκφράζεται ως:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1

με \, b^2 = a^2 - c^2.

Οι Παραμετρικές Εξισώσεις είναι:

x= a\cos t,\quad y=b\sin t.

με παράμετρο το t,\;0\leq t<2\pi.

Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι:

\rho=\frac{a^2-c^2}{a -c\cos\phi}.

Γενική μορφήEdit

Έστω μία κωνική τομή

\,ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.

Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν \,4ac-b^2>0. Για \,b=0 έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ για b\neq0 έχουμε και στροφή.

Πολικές ευθείες της έλλειψηςEdit

Έστω μία έλλειψη (στην κανονική της μορφή) και ένα σημείο P=(p_1,p_2)\neq(0,0) του επιπέδου. Η ευθεία

\frac{p_1x}{\alpha^2} + \frac{p_2y}{\beta^2}=1

ονομάζεται πολική ευθεία του P. Το P ονομάζεται πόλος της ευθείας.

  • Αν το P είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η εφαπτομένη της έλλειψης στο P.
  • Έστω P ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης.Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Η πολική ευθεία του P είναι η ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία επαφής της έλλειψης με τις εφαπτομένες αυτές.
  • Έστω P ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο του κέντρου της. Τοτε η πολική του ευθεία δεν τέμνει την έλλειψη.

Αντιστρόφως σε κάθε ευθεία του επιπέδου που δεν διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος.

ΙδιότητεςEdit

Ανακλαστική ιδιότητα εστιώνEdit

Έστω ένα σημείο της έλλειψης P. Φέρουμε την εφαπτόμενη σε αυτό το σημείο και την κάθετη αυτής. Η κάθετη διχοτομεί την γωνία E_1PE_2. Αυτό έχει την εξής συνέπεια: Αν θεωρησουμε την εστία E_1 ως πηγή φωτεινής ακτινοβολίας, τότε η φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από την E_1 και αντανακλάται στην έλλειψη διέρχεται από την E_2.

Ορθή προβολή κύκλουEdit

Έστω ένας κύκλος με ακτίνα \alpha σε ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο. Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο που τέμνει το πρώτο με μία γωνία \phi\in(0,2\pi) και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Η ορθη προβολή του κύκλου στο δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη με άξονες μήκους 2\alpha και 2\alpha\cos\phi.

Κάθε έλλειψη μπορεί να εκφραστεί ως ορθη προβολή κύκλου.

Συζυγείς διάμετροιEdit

Έστω μία έλλειψη και ένας κύκλος του οποίου η ορθή προβολή είναι η έλλειψη αυτή. Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων του κύκλου.

Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τα μέσα όλων των χορδών που είναι παράλληλες με τη συζυγή της.

Χαρακτηριστικά μεγέθηEdit

  • To εμβαδό της έλλειψης ισούται με
\,A=\pi\alpha\beta.
C=4\alpha\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\cos t)^2}} \ dt.

Σημείωση: To ολοκλήρωμα που εμφανίζεται είναι ένα Ελλειπτικό Ολοκλήρωμα και δεν μπορεί να εκφρασθεί με τη βοήθεια αρχικής συνάρτησης.

Χορδιακή ΓεωμετρίαEdit

Στην Χορδιακή Γεωμετρία η έλλειψη περιγράφεται από την εξίσωση:

\frac{\color{Red}x^2}{\color{Red}a^2} + \frac {\color{Red}y^2}{\color{Red}b^2} = 1

ενώ αντίστοιχα το Ελλειψοειδές περιγράφεται:

\frac{\color{Red}x^2}{\color{Red}a^2} + \frac {\color{Red}y^2}{\color{Red}b^2} + \frac {\color{Red}z^2}{\color{Red}c^2} = 1

Στην Χορδιακή Γεωμετρία η φαντ. έλλειψη περιγράφεται από την εξίσωση:

\frac{\color{Brown}x^2}{\color{Brown}a^2} + \frac {\color{Brown}y^2}{\color{Brown}b^2} = 1

ενώ αντίστοιχα το φαντ. Ελλειψοειδές περιγράφεται:

\frac{\color{Brown}x^2}{\color{Brown}a^2} + \frac {\color{Brown}y^2}{\color{Brown}b^2} + \frac {\color{Brown}z^2}{\color{Brown}c^2} = 1

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki