Έλλειψη \Καμπύλη

Έλλειψις

Ellipse

Έλλειψη

Έλλειψη

Πραγματική Έλλειψη

Έλλειψη

Έλλειψη

Σχήμα μιας έλλειψης
όπου φαίνονται τα βασικά της στοιχεία

εκκεντρότητα

Ήλιος και Γη

Έλλειψη

Έλλειψη
Υπερβολή

- Μία γεωμετρική καμπύλη και ακριβέστερα μία Κωνική Τομή.

Ορισμός

Έστω δύο σημεία $E_1, E_2$ σε ένα Ευκλείδειο Επίπεδο με απόσταση 2γ μεταξύ τους και ένας θετικός αριθμός $\alpha >\gamma$.

Έλλειψη ονομάζεται ο Γεωμετρικός Τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από τα σημεία $E_1, E_2$ έχουν άθροισμα ίσο με 2α.

Η έλλειψη είναι μία Κωνική Τομή και μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, αφού για $E_{1}=E_{2}$ ανάγεται σε αυτόν.

Βασικές Έννοιες

έλλειψη

Τα σημεία $E_1, E_2$ ονομάζονται εστίες της έλλειψης.

Το μέσο Ο του ευθύγραμμου τμήματος $E_{1}E_{2}$ ονομάζεται κέντρο της έλλειψης. Το κέντρο της έλλειψης αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής.

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης.

Μία έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας, οι οποίες είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται μικρός και μεγάλος άξονας αντίστοιχα. O μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2α, γεγονός που προκύπτει εύκολα από τον ορισμό της έλλειψης. O μικρός άξονας έχει μήκος 2β, $\beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}$. Αυτό προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο $E_{1}AO$ (βλ. σχήμα).

Ο αριθμός $\varepsilon =\gamma /\alpha ,\;0\leq \varepsilon <1$ ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και δηλώνει πόσο "επιμήκης" ή "πεπλατυσμένη" είναι η έλλειψη.

• Για $\varepsilon = 0$ έχουμε κύκλο,
• ενώ για ε κοντά στο 1 μία "επιμήκη" έλλειψη.

Εξισώσεις της έλλειψης

Κανονική μορφή

Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και οι αξονές της είναι πάνω στους άξονές του.

Σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες εκφράζεται ως:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

όπου $\,b^{2}=a^{2}-c^{2}$.

Οι Παραμετρικές Εξισώσεις είναι:

$x=a\cos t,\quad y=b\sin t.$

με παράμετρο το $t,\;0\leq t<2\pi$.

Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι:

$\rho ={\frac {a^{2}-c^{2}}{a-c\cos \phi }}$

Γενική μορφή

Έστω μία κωνική τομή

$\,ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.$

Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν $\,4ac-b^{2}>0.$ Για $\,b=0$ έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ για $b\neq 0$ έχουμε και στροφή.

Πολικές ευθείες της έλλειψης

Έστω μία έλλειψη (στην κανονική της μορφή) και ένα σημείο $P=(p_{1},p_{2})\neq (0,0)$ του επιπέδου. Η ευθεία

${\frac {p_{1}x}{\alpha ^{2}}}+{\frac {p_{2}y}{\beta ^{2}}}=1$

ονομάζεται πολική ευθεία του $P$. Το $P$ ονομάζεται πόλος της ευθείας.

• Αν το $P$ είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η εφαπτομένη της έλλειψης στο $P$.

• Έστω $P$ ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης.Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Η πολική ευθεία του $P$ είναι η ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία επαφής της έλλειψης με τις εφαπτομένες αυτές.

• Έστω $P$ ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο του κέντρου της. Τοτε η πολική του ευθεία δεν τέμνει την έλλειψη.

Αντιστρόφως σε κάθε ευθεία του επιπέδου που δεν διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος.

Ιδιότητες

Ανακλαστική ιδιότητα εστιών

Έστω ένα σημείο της έλλειψης $P$. Φέρουμε την εφαπτόμενη σε αυτό το σημείο και την κάθετη αυτής. Η κάθετη διχοτομεί την γωνία $E_{1}PE_{2}$. Αυτό έχει την εξής συνέπεια: Αν θεωρησουμε την εστία $E_1$ ως πηγή φωτεινής ακτινοβολίας, τότε η φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από την $E_1$ και αντανακλάται στην έλλειψη διέρχεται από την $E_2$.

Ορθή προβολή κύκλου

Έστω ένας κύκλος με ακτίνα $\alpha$ σε ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο. Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο που τέμνει το πρώτο με μία γωνία $\phi \in (0,2\pi )$ και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Η ορθη προβολή του κύκλου στο δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη με άξονες μήκους $2\alpha$ και $2\alpha \cos \phi$.

Κάθε έλλειψη μπορεί να εκφραστεί ως ορθη προβολή κύκλου.

Συζυγείς διάμετροι

Έστω μία έλλειψη και ένας κύκλος του οποίου η ορθή προβολή είναι η έλλειψη αυτή. Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων του κύκλου.

Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τα μέσα όλων των χορδών που είναι παράλληλες με τη συζυγή της.

Χαρακτηριστικά μεγέθη

• To εμβαδό της έλλειψης ισούται με

$\,A=\pi \alpha \beta .$

• Η περίμετρος της έλλειψης ισούται με

$C=4\alpha \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}(\cos t)^{2}}}\ dt.$

Σημείωση: To ολοκλήρωμα που εμφανίζεται είναι ένα Ελλειπτικό Ολοκλήρωμα και δεν μπορεί να εκφρασθεί με τη βοήθεια αρχικής συνάρτησης.

Χορδιακή Γεωμετρία

Στην Χορδιακή Γεωμετρία η έλλειψη περιγράφεται από την εξίσωση:

${\frac {\color {Red}x^{2}}{\color {Red}a^{2}}}+{\frac {\color {Red}y^{2}}{\color {Red}b^{2}}}=1$

ενώ αντίστοιχα το Ελλειψοειδές περιγράφεται:

$\frac{\color{Red}x^2}{\color{Red}a^2} + \frac {\color{Red}y^2}{\color{Red}b^2} + \frac {\color{Red}z^2}{\color{Red}c^2} = 1$

Στην Χορδιακή Γεωμετρία η φαντ. έλλειψη περιγράφεται από την εξίσωση:

${\frac {\color {Brown}x^{2}}{\color {Brown}a^{2}}}+{\frac {\color {Brown}y^{2}}{\color {Brown}b^{2}}}=1$

ενώ αντίστοιχα το φαντ. Ελλειψοειδές περιγράφεται:

${\frac {\color {Brown}x^{2}}{\color {Brown}a^{2}}}+{\frac {\color {Brown}y^{2}}{\color {Brown}b^{2}}}+{\frac {\color {Brown}z^{2}}{\color {Brown}c^{2}}}=1$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ζεύγος Παραλλήλων Ευθειών
• Ελλειψοειδές
• Παραβολή
• Υπερβολή

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---