Fandom

Science Wiki

Αναδελτική Αναπαράσταση

63.291pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Αναδελτική Αναπαράσταση

Nabla Representation , Del Representation,


Tagnet-02-goog.png

Ανάδελτα
Εφαπτομένη
Εφαπτόμενο Διάνυσμα
Εφαπτομενικός Χώρος
Διαφορικός Τελεστής
Παράγωγος
Διαφορική Γεωμετρία

Είναι η αναπαράσταση του τελεστή ανάδελτα σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία " Αναδελτική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " Ανάδελτα".

Συστήματα ΣυντεταγμένωνEdit

Εφόσον θεωρήσουμε τρισδιάστατο Ευκλείδειο Χώρο, τότε έχουμε τρείς συνήθεις αναπαραστάσεις, ως προς τα χρησιμοποιούμενα συστήματα συντεταγμένων:

Πίνακας Αναδελτικών Αναπαραστάσεων
Operation Καρτεσιανό Σύστημα (x,y,z) Κυλινδρικό Σύστημα (ρ,φ,z) Σφαιρικό Σύστημα (r,θ,φ)
Definition
of
coordinates
  \left[\begin{matrix}
    x & = & \rho\cos\phi \\
    y & = & \rho\sin\phi \\
    z & = & z \end{matrix}\right. \left[\begin{matrix}
    x & = & r\sin\theta\cos\phi \\
    y & = & r\sin\theta\sin\phi \\
    z & = & r\cos\theta \end{matrix}\right.
\left[\begin{matrix}
    \rho & = & \sqrt{x^2 + y^2} \\
    \phi & = & \operatorname{atan2}(y, x) \\
    z & = & z \end{matrix}\right. \left[\begin{matrix}
    r & = & \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\
    \theta & = & \arccos(z / r) \\
    \phi & = & \operatorname{atan2}(y, x) \end{matrix}\right.
\mathbf{A} A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z} A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}
\nabla f {\partial f \over \partial x}\mathbf{\hat x} + {\partial f \over \partial y}\mathbf{\hat y} 
  + {\partial f \over \partial z}\mathbf{\hat z} {\partial f \over \partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} 
  + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} 
  + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z} {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} 
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}
\nabla \cdot \mathbf{A} {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over \rho}{\partial ( \rho A_\rho  ) \over \partial \rho} 
  + {1 \over \rho}{\partial A_\phi \over \partial \phi} 
  + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over r^2}{\partial ( r^2 A_r ) \over \partial r} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} (  A_\theta\sin\theta )  
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}
\nabla \times \mathbf{A} \begin{matrix}
  ({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}) \mathbf{\hat x} & + \\
  ({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}) \mathbf{\hat y} & + \\
  ({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}) \mathbf{\hat z} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  ({1 \over \rho}{\partial A_z \over \partial \phi}
    - {\partial A_\phi \over \partial z}) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  ({\partial A_\rho \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial \rho}) \boldsymbol{\hat \phi} & + \\
  {1 \over \rho}({\partial ( \rho A_\phi ) \over \partial \rho} 
    - {\partial A_\rho \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  {1 \over r\sin\theta}({\partial \over \partial \theta} ( A_\phi\sin\theta )
    - {\partial A_\theta \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  {1 \over r}({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} 
    - {\partial \over \partial r} ( r A_\phi ) ) \boldsymbol{\hat \theta} & + \\
  {1 \over r}({\partial \over \partial r} ( r A_\theta )
    - {\partial A_r \over \partial \theta}) \boldsymbol{\hat \phi} & \ \end{matrix}
\Delta f = \nabla^2 f {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}(\rho {\partial f \over \partial \rho}) 
  + {1 \over \rho^2}{\partial^2 f \over \partial \phi^2} 
  + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}(r^2 {\partial f \over \partial r}) 
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}) 
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}
\Delta \mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A} \Delta A_x \mathbf{\hat x} + \Delta A_y \mathbf{\hat y} + \Delta A_z \mathbf{\hat z} \begin{matrix}
  (\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2} 
    - {2 \over \rho^2}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat\rho} & + \\
  (\Delta A_\phi - {A_\phi \over \rho^2} 
    + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat\phi} & + \\
  (\Delta A_z ) \boldsymbol{\hat z}  & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  (\Delta A_r - {2 A_r \over r^2} 
    - {2 A_\theta\cos\theta \over r^2\sin\theta}  
    - {2 \over r^2}{\partial A_\theta \over \partial \theta}  
    - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  (\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta} 
    + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta} 
    - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat\theta} & + \\
  (\Delta A_\phi - {A_\phi \over r^2\sin^2\theta}
    + {2 \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_r \over \partial \phi}
    + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat\phi} & \end{matrix}
Differential displacement d\mathbf{r} = dx\mathbf{\hat x} + dy\mathbf{\hat y} + dz\mathbf{\hat z} d\mathbf{r} = d\rho\boldsymbol{\hat \rho} + \rho d\phi\boldsymbol{\hat \phi} + dz\boldsymbol{\hat z} d\mathbf{r} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{\hat \phi}
Differential normal area \begin{matrix}d\mathbf{S} = &dydz\mathbf{\hat x} + \\ 
&dxdz\mathbf{\hat y} + \\ 
&dxdy\mathbf{\hat z}\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \rho d\phi dz\boldsymbol{\hat \rho} + \\ 
& d\rho dz\boldsymbol{\hat \phi} + \\ 
& \rho d\rho d\phi \mathbf{\hat z}
\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & r^2 \sin\theta d\theta d\phi \mathbf{\hat r} + \\
& r\sin\theta drd\phi \boldsymbol{\hat \theta} + \\
& rdrd\theta\boldsymbol{\hat \phi}
\end{matrix}
Differential volume dv = dxdydz \, dv = \rho d\rho d\phi dz\, dv = r^2\sin\theta drd\theta d\phi\,
Διάφορες Ταυτότητες:
  1. \operatorname{div\ grad\ } f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f (Laplacian)
  2. \operatorname{curl\ grad\ } f = \nabla \times (\nabla f) = 0
  3. \operatorname{div\ curl\ } \mathbf{A} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0
  4. \operatorname{curl\ curl\ } \mathbf{A} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) 
                                                = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
  5. \Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f
  6. Lagrange's formula for the cross product:
    \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) 
  = \mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki