Fandom

Science Wiki

Αριθμός e

63.285pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Αριθμός e

Number e


Physical-Constant-01-goog.jpg

Φυσική Σταθερά Φυσική Σταθερά Μαθηματική Σταθερά
Φυσικές Σταθερές Μαθηματικές Σταθερές
Φυσικό Μέγεθος Μαθηματικό Μέγεθος
Μονάδα Μέτρησης Αριθμός

Numbers-03-goog.jpg

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη
Τελεστής

O αριθμός e είναι ένας Άρρητος Αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται και αριθμός Euler ή σταθερά Napier.

ΕτυμολογίαEdit

Ikl.jpg Αριθμοί Ikl.jpg
Α. Αριθμοσύνολα
Number
Number
Number
Number
Number

Number
Number
Number

Number
Number

Number
Number

---

Number
Number
Β. Ειδικοί Αριθμοί
Number
Number
Number

Number
  • Αριθμός e
Number
Γ. Άλλοι Αριθμοί
Number
Number

Number
Number
Number

Number
Number
Number

Number
Number
Number
Number
Δ. Ψηφία
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number

Number
Number
Number
Number


Η ονομασία "e" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[]]".

Εισαγωγή Edit

Eίναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά. Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμών του αριθμού e.

Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου είναι:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

Ορισμός Edit

O πιο συχνός στην βιβλιογραφία ορισμός είναι ο εξής:

Ο e είναι το όριο της ακολουθίας (1+ \frac{1}{n} )^n

ΑνατοκισμόςEdit

Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ότι ο παραπάνω όρος εμφανίζεται στο πρόβλημα του ανατοκισμού. Συγκεκριμένα είναι το ποσό που θα εισπράξει κάποιος ο οποίος καταθέτει σήμερα μία νομισματική μονάδα μετά από n περιόδους με n περιόδους τοκισμού σε κάθε περίοδο.

Αν πάρουμε την οριακή περίπτωση ο αριθμός των περιόδων να τείνει στο άπειρο τότε θα εισπράξουμε e νομισματικές μονάδες και όχι άπειρα χρήματα που ίσως θα περιμέναμε! Το πρόβλημα σε αυτή τη διάσταση μελέτησε ο Jacob Bernoulli ο οποίος έδειξε ότι το ανάπτυγμα σε απειροσειρά του (1+ \frac{1}{n} )^n συγκλίνει σε ένα αριθμό στο διάστημα (2,3)

Εκθετική Συνάρτηση Edit

Η εκθετική συνάρτηση, από την στιγμή του ορισμού της έγινε μία από τις διασημότερες (αν όχι η διασημότερη) συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή έχει την εξαιρετική ιδιότητα να ισούται με την παράγωγο της. Αυτό σημαίνει ότι έχει σταθερό ρυθμό μεταβολής (ή σταθερή ένταση) κάτι το οποίο συναντάμε σε πάρα πολλές εφαρμογές ως το πρώτο βήμα για να δομήσουμε πιο πολύπλοκα μοντέλα.

Η συνάρτηση f(x)= e^x προσεγγίζεται μέσω του αναπτύγματος της σειράς

\sum_{k=0}^\infty\frac{k^x}{k!}

Σχέση EulerEdit

O Euler κατελήξε στην παρακάνω σχέση για έναν φανταστικό αριθμό

e^{ix}=\cos x + i\sin x

Για να δείξει το παραπάνω αποτέλεσμα ο Euler έκανε κάποια λάθη στον χειρισμό των σειρών που ανέπτυξε αλλά το αποτέλεσμα παραμένει.

Αν θέσουμε

x= \pi

παίρνουμε

e^{i\pi}=-1 \Leftrightarrow e^{i\pi} + 1 = 0

Η τελευταία σχέση είναι γνωστή ως εξίσωση Euler και είναι μία από τις σημαντικότερες στην φιλοσοφία των Μαθηματικών. Συνδέει τις σταθερές e,\pi,i με την μονάδα και το μηδέν! Πέραν από την φιλοσοφία, η σχέση αυτή πρόσφερε κάτι παραπάνω.

Χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός, δηλαδή ότι δεν αποτελεί λύση κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Τέτοιος αριθμός είναι και ο e.

Πρόταση: Για n διαφορετικούς αλγεβρικούς αριθμούς a_1,a_2,..,a_n και επίσης αλγεβρικούς αριθμούς A_1,A_2,..,A_n όχι όλους ίσους με το μηδέν η παράσταση

A_1e^a_1+A_2e^a_2+..+A_ne^a_n

δεν ισούται με το μηδέν.(Λιντερμαν)
</br> Η εξίσωση Euler όμως δίνει ένα τέτοιο αποτέλεσμα για τον αριθμό i\pi άρα και για τον \pi.

Συνεπώς, ο \pi είναι υπερβατικός. Αυτό αποτέλεσε και τη λύση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου.

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

  • "e: Η Ιστορία ενός Αριθμού", Eli Maor, Εκδόσεις Κάτοπτρο

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki