Ιακωβιανή Μήτρα

Ιακωβιανή

Jacobian

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

---

Συνήθως, οι συντεταγμένες x,y,z είναι οι παλαιές και
οι συντεταγμένες u,v,w είναι οι νέες

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Μετασχηματισμός
Ιακωβιανή

Επιφάνεια
Καμπυλότητα
Ιακωβιανή

Ιακωβιανή

Ιακωβιανή

Ιακωβιανή

Ιακωβιανή

Ιακωβιανή

Ιακωβιανή

Ιακωβιανή

Ιακωβιανή

---

Παραβολικός μετασχηματισμός
x = u^2 - v^2
y = 2uv

Ιακωβιανή Μήτρα

Ιακωβιανή Μήτρα

Ιακωβιανή & Χωροπεριοχή

- Μία Μαθηματική Μήτρα.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Ιακωβιανή" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Jacobi".

It is named after the mathematician Carl Gustav Jacobi.

Εισαγωγή

Στον Διανυσματικό Λογισμό, the Jacobian is shorthand for either the Jacobian matrix or its ορίζουσα (determinant), the Jacobian determinant.

Also, in Αλγεβρική Γεωμετρία (algebraic geometry) the Jacobian of a curve means the Jacobian variety: a group variety associated to the curve, in which the καμπύλη (curve) can be embedded.

Ανάλυση

The Jacobian matrix is the Μαθηματική Μήτρα of all first-order partial derivatives of a vector-valued function.

Its importance lies in the fact that it represents the best γραμμική προσέγγιση to a differentiable function near a given point.

In this sense, the Jacobian is akin to a derivative of a multivariate function.

Suppose F : Rⁿ → R^m is a function from Euclidean n-space to Euclidean m-space. Such a function is given by m real-valued component functions, y₁(x₁,...,x_n), ..., y_m(x₁,...,x_n). The partial derivatives of all these functions (if they exist) can be organized in an m-by-n matrix, the Jacobian matrix of F, as follows:

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

This matrix is denoted by

$J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ or by ${\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}$

The ith row of this matrix is given by the gradient of the function y_i for i=1,...,m.

If p is a point in Rⁿ and F is differentiable at p, then its derivative is given by J_F(p) (and this is the easiest way to compute the derivative). In this case, the linear map described by J_F(p) is the best linear approximation of F near the point p, in the sense that

$F(\mathbf {x} )\approx F(\mathbf {p} )+J_{F}(\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )$

for x close to p.

Ταξινομία

1) (Εμπροσθοδρομικός) Forward transformation
1a) Components' transformation (active)

$dx'^{i} = \frac{\partial x'^{i}} {\partial x^j} \cdot dx^j$

$dx'^{i} = J^{i}_{\,\,j} \, \cdot dx^j$

1b) Basis' inverse transformation (passive)

${\hat {e}}'_{i}={\hat {e}}_{j}\cdot {\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{\,i}}}$

${\hat {e}}'_{i}={\hat {e}}_{j}\cdot (J^{-1})_{\;\;i}^{\,j}$

2) (Οπισθοδρομικός) Backward transformation
2a) Components' inverse transformation (passive)

$dx^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial x'^{j}}}\cdot dx'^{j}$

$dx^{i}=(J^{-1})_{\;j}^{\,i}\cdot dx'^{j}$

2b) Basis' transformation (active)

${\hat {e}}_{i}={\hat {e}}'_{j}\,\cdot {\frac {\partial x'^{j}}{\partial x^{i}}}$

${\hat {e}}_{i}={\hat {e}}'_{j}\,\,\cdot J_{\,\,i}^{j}$

Παραδείγματα

Consider Σφαιρικές Συντεταγμένες (spherical polar coordinates). The following function constitutes a change of variables back to cartesian coordinates.

F : R x [0,2π] x [0,π] → R³ with components:

$x_{1}=r\cos \phi \sin \theta \,$

$x_{2}=r\sin \phi \sin \theta \,$

$x_{3}=r\cos \theta \,$

The Jacobian matrix for this coordinate change is

$J_{F}(r,\phi ,\theta )={\begin{bmatrix}\cos \phi \sin \theta &-r\sin \phi \sin \theta &r\cos \phi \cos \theta \\\sin \phi \sin \theta &r\cos \phi \sin \theta &r\sin \phi \cos \theta \\\cos \theta &0&-r\sin \theta \end{bmatrix}}$

The Jacobian matrix of the function F : R³ → R⁴ with components:

$y_{1}=x_{1}\,$

$y_{2}=5x_{3}\,$

$y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,$

$y_{4}=x_{3}\sin(x_{1})\,$

είναι:

$J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos(x_{1})&0&\sin(x_{1})\end{bmatrix}}$

This example shows that the Jacobian need not be a square matrix.

Ιακωβιανή Δυναμικών Συστημάτων

Consider a dynamical system of the form x' = F(x), with F : Rⁿ → Rⁿ. If F(x₀) = 0, then x₀ is a stationary point. The behaviour of the system near a stationary point can often be determined by the eigenvalues of J_F(x₀), the Jacobian of F at the stationary point.

Jacobian determinant

If m = n, then F is a function from n-space to n-space and the Jacobi matrix is a square matrix.

We can then form its determinant, known as the Jacobian determinant. The Jacobian determinant is also called the "Jacobian" in some sources.

The Jacobian determinant at a given point gives important information about the behavior of F near that point. For instance, the continuously differentiable function F is invertible near p if the Jacobian determinant at p is non-zero.

This is the inverse function theorem.

Furthermore, if the Jacobian determinant at p is positive, then F preserves orientation near p; if it is negative, F reverses orientation.

The absolute value of the Jacobian determinant at p gives us the factor by which the function F expands or shrinks volumes near p; this is why it occurs in the general substitution rule.

Example

The Jacobian determinant of the function F : R³ → R³ with components

$y_{1}=5x_{2}\,$

$y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\,$

$y_{3}=x_{2}x_{3}\,$

is:

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}$

From this we see that F reverses orientation near those points where x₁ and x₂ have the same sign; the function is locally invertible everywhere except near points where x₁=0 or x₂=0. If you start with a tiny object around the point (1,1,1) and apply F to that object, you will get an object set with about 40 times the volume of the original one.

Uses

The Jacobian determinant is used when making a change of variables when integrating a function over its domain. To accommodate for the change of coordinates the Jacobian determinant arises as a multiplicative factor within the integral. Normally it is required that the change of coordinates is done in a manner which maintains an injectivity between the coordinates that determine the domain. The Jacobian determinant, as a result, is usually well defined.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• συνάρτηση
• μετασχηματισμός
• Μετασχηματισμός Συντεταγμένων
• Pushforward
• Hessian matrix
• προβολή

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Ian Craw's Undergraduate Teaching Page An easy to understand explanation of Jacobians
• Mathworld A more technical explanation of Jacobians
• siegel.work/blog
• Jacobian, videoclip
• Curvature-Jacobian, Everson
• physics.stackexchange.com

Jacobian

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---