Μαθηματική Ακολουθία

Ακολουθία

Sequence

Ακολουθία

Ακολουθία

Ακολουθία

Ακολουθία

Ακολουθία

Ακολουθία
Σειρά

Ακολουθία
Μαθηματική Σύγκλιση

Ακολουθία
Μαθηματική Σύγκλιση

Ακολουθία
Μαθηματική Σύγκλιση

Ακολουθία Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Σύγκλιση Ακολουθίας
Μαθηματικό Όριο

- Ένα Μαθηματικό Δόμημα

Ετυμολογία

Η ονομασία "Ακολουθία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[ ]]".

Ορισμός

Ακολουθία (πραγματικών αριθμών) ονομάζεται κάθε συνάρτηση που το "σύνολο ορισμού" της είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών (Ν), ή ένα υποσύνολο του (πεπερασμένο ή άπειρο) (σύνολο αφίξεως).

Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη n-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$.

Παρομοίως, για μια άπειρη ακολουθία μπορούμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό $(a_{1},a_{2},\dots )$ όπου $a_1$ είναι ο πρώτος όρος της, $a_2$ ο δεύτερος κ.ο.κ.

Επίσης μια άπειρη ακολουθία συμβολίζεται και ως $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, ή για συντομία $(a_n)$.

Εισαγωγή

In mathematics, a sequence is an enumerated collection of objects in which repetitions are allowed and order matters.

Like a set, it contains members (also called elements, or terms). The number of elements (possibly infinite) is called the length of the sequence.

Unlike a set, the same elements can appear multiple times at different positions in a sequence, and unlike a set, the order does matter. Formally, a sequence can be defined as a function from natural numbers (the positions of elements in the sequence) to the elements at each position. The notion of a sequence can be generalized to an indexed family, defined as a function from an arbitrary index set.

Επομένως, ακολουθία είναι μια ειδική μορφή συνάρτησης, συνεπώς υπάρχουν:

• φράγματα ακολουθίας,
• μονοτονία ακολουθίας,
• ακρότατα ακολουθίας,
• γραφική παράσταση ακολουθίας κ.λ.π.

Ειδική κατηγορία ακολουθιών είναι και οι πρόοδοι:

• H Αριθμητική Πρόοδος
• Η Γεωμετρική Πρόοδος

Ανάλυση

Ονομάζουμε ακολουθία ή πιο συγκεκριμένα άπειρη ακολουθία οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολο των φυσικών $\mathbb{N}$ σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση:

$a:\mathbb {N} \rightarrow A$

Ονομάζουμε πεπερασμένη ακολουθία ή λίστα ν στοιχείων οποιαδήποτε συνάρτηση α από ένα σύνολο των φυσικών $\mathbb {N} _{\nu }$ σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση:

$a:\mathbb {N} _{\nu }\rightarrow A$

όπου το σύνολο $\mathbb {N} _{\nu }$ ορίζεται ως $\lbrace k\in \mathbb {N} \ |\ k<\nu \rbrace$.

Συνηθίζεται να συμβολίζουμε μια ακολουθία με:

$(a_{k})_{k=1}^{+\infty }$

ή με

$\{a_{k}\}_{k=1}^{+\infty }$

και μια πεπερασμένη ακολουθία με τα σύμβολα:

$(a_{k})_{k=1}^{\nu }$

ή με

$\{a_{k}\}_{k=1}^{\nu }$.

Επίσης συνηθίζεται να συμβολίζουμε την τιμή μιας ακολουθίας, για κάθε στοιχείο $k\in\mathbb{N}$ ή $k\in \mathbb {N} _{\nu }$ αντίστοιχα, με $a_k$ αντί με $a(k)$ όπως συνηθίζεται γενικά για τις συναρτήσεις.

Διευκρινίζεται ότι αν το σύνολο Α είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε η ακολουθία ονομάζεται πραγματική ακολουθία.

Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών.

Ωστόσο μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη ν-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με

$(a_{1},a_{2},...a_{\nu })$.

Παρόμοια, για μια άπειρη ακολουθία μπορούμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό

$(a_{1},a_{2},...)$.

΄

Σύγκλιση Ακολουθίας

Μία ακολουθία είναι συγκλίνουσα (ή αλλιώς συγκλίνει στο όριο l) όταν:

$a_{n}\to L\Leftrightarrow$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=l\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0,\exists N>0:\forall n>N,|a_{n}-l|<\varepsilon$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• συνάρτηση
• Φυσικός Αριθμός

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Πραγματική Ανάλυση
• Συναρτησιακή Ανάλυση

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---