Fandom

Science Wiki

Γραμμική Άλγεβρα

63.255pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Γραμμική Άλγεβρα

Linear algebra


Linear-Algebra-01-goog.gif

Άλγερα μητρών.

Mathematics-10-goog.jpg

Μαθηματικά Γεωμετρία ΆλγεβραΜαθηματική Λογική Μαθηματική Ανάλυση Διακριτά Μαθηματικά Τοπολογία Γραμμική Άλγεβρα Στατιστική Οικονομικά Μαθηματικά

Algebra-01-goog.png

Άλγεβρα
Στοιχειώδης Άλγεβρα Αφηρημένη Άλγεβρα Γραμμική Άλγεβρα Μεταθετική Άλγεβρα Υπολογιστική Άλγεβρα Ομολογιακή Άλγεβρα Παγκόσμια Άλγεβρα Αλγεβρική Αριθμοθεωρία Αλγεβρική Γεωμετρία Αλγεβρική Συνδυαστική

- Ένας κλάδος της Άλγεβρας.

ΕισαγωγήEdit

Η Γραμμική Άλγεβρα είναι τομέας των Μαθηματικών και της Άλγεβρας ο οποίος ασχολείται με τη μελέτη διανυσμάτων, Διανυσματικών Χώρων, γραμμικών απεικονίσεων και συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

Η Αναλυτική Γεωμετρία αποτελεί έκφρασή της και η ίδια αποτελεί κεντρικό συνδετικό ιστό των σύγχρονων μαθηματικών, ιδιαιτέρως μέσω της αφηρημένης έννοιας του διανυσματικού χώρου η οποία μπορεί να μοντελοποιήσει πολλά διαφορετικά προβλήματα που συναντώνται στην πράξη.

Συνηθισμένη πρακτική είναι η προσέγγιση μη γραμμικών φαινομένων με γραμμικά μοντέλα (γραμμικοποίηση), προκειμένου να μπορούν να εφαρμοστούν οι μεθοδολογίες της Γραμμικής Άλγεβρας.

Η εν λόγω «γραμμικότητα» αφορά το γεγονός ότι οι μεθοδολογίες αυτές εφαρμόζονται σε σύνολα συναρτήσεων οι οποίες στον τύπο τους περιέχουν μόνο πολυώνυμα πρώτου ή μηδενικού βαθμού και περιγράφουν σχέσεις μεταξύ ν-διάστατων διανυσμάτων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται και γραμμικές επειδή, στην Αναλυτική Γεωμετρία, απεικονίζονται οπτικά με ευθείες γραμμές.

Ιστορία Edit

Το κεντρικό υπόδειγμα στο οποίο στηρίχθηκε η Γραμμική Άλγεβρα είναι το γεωμετρικό Ευκλείδειο Επίπεδο. Η εισαγωγή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και η ακόλουθη ανάπτυξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας, η οποία ένωσε την άλγεβρα με την Ευκλείδεια Γεωμετρία, έδωσε το έναυσμα για τη μελέτη των διανυσμάτων.

Χάρις στο καρτεσιανό σύστημα τα τελευταία, από γεωμετρικά ευθύγραμμα τμήματα με μήκος και κατεύθυνση, άρχισαν να εκφράζονται ως ισοδύναμες ακολουθίες πραγματικών αριθμών: ένα οποιοδήποτε Διατεταγμένο Ζεύγος αριθμών εξέφραζε πλέον κάποιο διάνυσμα σε ένα δισδιάστατο Σύστημα Συντεταγμένων, εκτεινόμενο από την αρχή των αξόνων του συστήματος ως το σημείο που περιγραφόταν από το εν λόγω ζεύγος, ενώ μία οποιοδήποτε διατεταγμένη τριάδα αριθμών ισοδυναμούσε με ένα διάνυσμα σε κάποιο τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων.

Η Φυσική σύντομα απαίτησε την επέκταση αυτών των ιδεών σε περισσότερες διαστάσεις, με αποτέλεσμα ως τον 19ο αιώνα να γίνει στα μαθηματικά κοινός τόπος η μη διαισθητική αναφορά σε «Χώρους» (αφηρημένες επεκτάσεις του καρτεσιανού επιπέδου και του τρισδιάστατου χώρου) πολλαπλών διαστάσεων, όπου κάποιες έννοιες όπως το Εσωτερικό Γινόμενο φαίνονταν δυσνόητες και χωρίς γεωμετρική αναλογία, καθώς οι άνθρωποι δεν μπορούσαν να τις οπτικοποιήσουν στη δεσμευμένη από τις τρεις διαστάσεις σκέψη τους, αλλά ορίζονταν και συμπεριφέρονταν εντελώς ανάλογα.

Πλέον κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών αντικατόπτριζε ένα n-διάστατο διάνυσμα κάποιου αφηρημένου, n-διάστατου χώρου. Το γεγονός αυτό είχε σημαντικές συνέπειες: πέραν από τα γεωμετρικά διανύσματα οτιδήποτε μπορούσε να αναπαρασταθεί ως διατεταγμένη n-άδα αριθμών μπορούσε να αντιστοιχηθεί σε κάποιον νοητό αλγεβρικό χώρο (π.χ. οι πραγματικοί συντελεστές ενός πολυωνύμου).

Περί τα μέσα του δεκάτου ενάτου αιώνα εμφανίστηκαν οι μήτρες (ή πίνακες) ως ένα νέο, ισχυρό εργαλείο στα μαθηματικά. Ένας πίνακας δεν είναι παρά μία συλλογή διανυσμάτων με αυτοτελή όμως δομή. Ένας διακριτός λογισμός πινάκων άρχισε γρήγορα να αναπτύσσεται με αφετηρία την εργασία του Άρθουρ Κέυλυ το 1857.

Όμως, στις αρχές του 20ου αιώνα, είναι που η Γραμμική Άλγεβρα, θεμελιωμένη πλέον σε πορίσματα της αφηρημένης άλγεβρας και τις πρακτικές ανάγκες της νέας Σχετικιστικής Φυσικής, άρχισε να οριστικοποιείται και να λαμβάνει την τελική της μορφή και τη θέση της στον κόσμο των Μαθηματικών. Πλέον ορισμένες ημιδιαισθητικές έννοιες γεωμετρικής καταγωγής, όπως η διάσταση, μπορούσαν να τυποποιηθούν με αυστηρή μη-γεωμετρική ορολογία.

Διανυσματικοί Χώροι Edit

Ένα σύνολο παρόμοιων μαθηματικών οντοτήτων στο οποίο ορίζονται μεταξύ των στοιχείων του οι πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, με πραγματικό ή μιγαδικό αριθμό, και αποτελεί σώμα με αυτές τις πράξεις ονομάζεται Διανυσματικός Χώρος.

Παραδείγματα διανυσματικών χώρων είναι

Φερ' ειπείν, η πράξη της πρόσθεσης ορίζεται σε όλα τα προηγούμενα σύνολα (πρόσθεση διανυσμάτων, πινάκων, πολυωνύμων, συναρτήσεων) και έχει παρόμοιες ιδιότητες.

Διανυσματικοί Υπόχωροι Edit

Διανυσματικός υπόχωρος ενός διανυσματικού χώρου V ονομάζεται ένα υποσύνολο του V που

  • περιέχει το μηδενικό στοιχείο της πρόσθεσης του V και
  • είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό,

δηλαδή το αποτέλεσμα της εκτέλεσης αυτών των πράξεων σε οποιοδήποτε στοιχείο του υποχώρου είναι επίσης στοιχείο του ίδιου υποχώρου.

Παραδείγματα διανυσματικών υποχώρων του γεωμετρικού επιπέδου R2 (δηλαδή του συνόλου των πραγματικών διανυσμάτων δύο συνιστωσών) είναι

  • το σύνολο που περιέχει μόνο το σημείο (0,0),
  • όλος ο χώρος R2 και
  • κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Γραμμικός ΣυνδυασμόςEdit

Δεδομένου ενός διανυσματικού χώρου V και ενός υποσυνόλου του Κ, το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών μεταξύ στοιχείων του Κ (<Κ>) αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο του V και ονομάζεται γραμμική θήκη ή γραμμικό περίβλημα του K.

  • Αν ταυτίζεται με το V θεωρούμε ότι το Κ παράγει τον χώρο V ή ότι αποτελεί σύνολο γεννητόρων του V.
  • Αν επιπλέον το Κ έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων τότε ο V παράγεται πεπερασμένα.
Φερ' ειπείν το σύνολο των πολυωνύμων όλων των βαθμών είναι διανυσματικός χώρος αλλά δεν παράγεται πεπερασμένα, αφού σύνολο γεννητόρων του είναι το απειροσύνολο {1,χ,χ23...}.

Διανυσματική ΒάσηEdit

Αν τα στοιχεία του συνόλου Κ είναι γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους (δηλαδή κανένα δεν παράγεται από γραμμικό συνδυασμό των υπολοίπων) και το Κ παράγει τον διανυσματικό χώρο V, τότε θεωρούμε ότι το Κ αποτελεί βάση του V.

Βάση δηλαδή είναι ένα ελάχιστο σύνολο γεννητόρων ενός χώρου V, τέτοιο ώστε όλα τα στοιχεία του V να μπορούν να παραχθούν από γραμμικούς συνδυασμούς στοιχείων της βάσης αλλά ένα στοιχείο της βάσης να μην μπορεί να παραχθεί από γραμμικούς συνδυασμούς των υπολοίπων.

Τα στοιχεία μίας βάσης είναι ανά δύο ορθογώνια μεταξύ τους, δηλαδή εκφρασμένα ως διανύσματα έχουν εσωτερικό γινόμενο ίσο με μηδέν.

Το πλήθος των στοιχείων μίας βάσης ενός διανυσματικού χώρου V ονομάζεται διάσταση του V (dimV) και αποδεικνύεται ότι όλες οι διαφορετικές βάσεις ενός διανυσματικού χώρου έχουν την ίδια διάσταση.

Επίσης αν dimV=ν, αποδεικνύεται ότι οποιαδήποτε ν-άδα γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων του V είναι βάση του, καθώς και ότι οποιαδήποτε ν-άδα αποτελεί σύνολο γεννητόρων του V είναι και βάση του V.

Επίσης, αν Α είναι υπόχωρος ενός διανυσματικού χώρου V τότε dimA<=dimV· με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν Α = V.

Γραμμικές Απεικονίσεις Edit

Γραμμικές απεικονίσεις ή γραμμικοί μετασχηματισμοί ονομάζονται συναρτήσεις από έναν διανυσματικό χώρο σε έναν άλλον, τέτοιες ώστε να διατηρούν αναλλοίωτη τη δομή του.

Συγκεκριμένα, η απεικόνιση f:V -> W λέγεται γραμμική όταν ισχύει

f(λ1χ12χ2)=λ1f(χ1)+λ2f(x2).

Παράδειγμα αποτελεί η f που απεικονίζει το μηδενικό στοιχείο του V στο μηδενικό στοιχείο του W και μία βάση του V σε ένα σύνολο γεννητόρων του W.

ΙσομορφίαEdit

Αν επιπλέον η f είναι 1-1 (ένας προς ένα) και επί λέμε ότι αποτελεί ισομορφισμό και ότι οι δύο διανυσματικοί χώροι V και W είναι ισόμορφοι (η σχέση ισομορφισμού είναι Σχέση Ισοδυναμίας και διαμερίζει την κλάση των διανυσματικών χώρων σε κλάσεις ισοδυναμίας).

Αποδεικνύεται ότι αν δύο διανυσματικοί χώροι είναι ισόμορφοι έχουν ίδια δομή όσον αφορά τις ιδιότητές τους, αν ένα υποσύνολο Κ του V είναι βάση του τότε το f(K) είναι βάση του W και αντίστροφα και ότι οι ισόμορφοι ΔΧ έχουν ίδια διάσταση (π.χ. το σύνολο των πραγματικών δισδιάστατων διανυσμάτων και το σύνολο των πραγματικών διωνύμων είναι ισόμορφα).

Επίσης όλοι οι διανυσματικοί χώροι διάστασης n είναι ισόμορφοι με τον καρτεσιανό χώρο Rν (το σύνολο δηλαδή των n-διάστατων διανυσμάτων).

Αλγεβρικός ΠυρήναςEdit

Πυρήνας μίας γραμμικής απεικόνισης f από τον V στον W (Ker(f)) ονομάζεται το υποσύνολο του V που περιέχει όλα τα στοιχεία του V που απεικονίζονται μέσω της f στο μηδενικό στοιχείο του W.

Αν η f είναι 1-1 ο πυρήνας της περιέχει μόνο το μηδενικό στοιχείο του V.

Εικόνα της f (Im(f)) ονομάζεται το υποσύνολο του W που περιέχει όλα τα στοιχεία του στα οποία απεικονίζονται στοιχεία του V.

Αν η f είναι επί τότε Im(f)=W.

Επίσης ισχύει

dimV = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

και ότι το σύνολο L(V,W) όλων των γραμμικών απεικονίσεων από τον V στον W είναι διανυσματικός χώρος.

Μήτρες Edit

Ο αλγεβρικός λογισμός των πραγματικών αριθμών, των μιγαδικών αριθμών και των πολυωνύμων παρουσιάζει ποικίλες ομοιότητες όσον αφορά τα σύνολα στα οποία ορίζεται ο καθένας, τις επιτρεπτές πράξεις σε αυτά και τις ιδιότητές τους.

Ο αλγεβρικός λογισμός των μητρών όμως έχει τόσο ομοιότητες όσο και σημαντικές διαφορές. Κατ' αρχάς στον λογισμό μητρών θεωρούμε τα στοιχεία του συνόλου στο οποίο ορίζεται, του συνόλου όλων των μητρών επί του R ή του C, άτμητα και αυτοτελή· με τη δική τους δομή και χωρίς να ανάγονται στα αριθμητικά στοιχεία που τους αποτελούν (ένα παράδειγμα ολιστικής σκέψης στα Μαθηματικά).

Με τον ίδιο τρόπο θεωρούμε π.χ. και τα πολυώνυμα άτμητα και αυτοτελή, με τη δική τους εσωτερική λογική και όχι απλές συνενώσεις πραγματικών αριθμών και μεταβλητών.

Επίσης η αφαίρεση, η πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι παρόμοιοι σε όλους τους προαναφερόμενους λογισμούς (αφού ορίζονται επί διανυσματικών χώρων).

Έτσι π.χ. ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος v με έναν πραγματικό αριθμό λ αλλάζει μόνο το μήκος του v· Η κατεύθυνσή του μένει αμετάβλητη αν λ > 0 και αντιστρέφεται αν λ < 0.

Η βασική διαφορά του λογισμού των μητρών εντοπίζεται στον πολλαπλασιασμό μεταξύ μητρών: δεν είναι αντιμεταθετικός, δεν ορίζεται πάντοτε (πρέπει η δεύτερη Μήτρα να έχει τόσες γραμμές όσες στήλες έχει η πρώτη) και μπορεί, φερ' ειπείν, να ισχύει Α*Χ=0 με Α0 και Χ0.

Αυτή η απομάκρυνση του πολλαπλασιασμού μητρών από τις νομοτέλειες του πολλαπλασιασμού σε άλλους διανυσματικούς χώρους οφείλεται στο ότι η πράξη αυτή εκφράζει κατά κάποιον τρόπο τη σύνθεση συναρτήσεων και όχι τον συνήθη πολλαπλασιασμό μεταξύ στοιχείων ενός διανυσματικού χώρου. Όμως, η σύνθεση συναρτήσεων δεν είναι αντιμεταθετική και δεν ορίζεται πάντοτε.

Από τις μοναδικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μητρών προκύπτει και η εξαιρετική σημασία που έχουν οι τετραγωνικές μήτρες n x n σε σχέση με τις άλλες μήτρες.

Μόνο τετραγωνικές μήτρες μπορούν να:

  • είναι συμμετρικές (A = AT, η Μήτρα Α ισούται με τήν ανάστροφή της)
  • είναι διαγώνιες, τριγωνικές
  • είναι αντιστρέψιμοι (A*A-1 = I, η Μήτρα Α επί την αντίστροφή της ισούται με την ταυτοτική μήτρα)
  • είναι μετατιθέμενοι (A*B = B*A)
  • έχουν ορίζουσα

Ο λόγος που ο πολλαπλασιασμός μητρών ομοιάζει με σύνθεση συναρτήσεων είναι ότι ο εξ αριστερών πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος v (έστω n-διάστατου) με μία Μήτρα Α (έστω v x w), ο οποίος είναι εφικτός από τη στιγμή που ένα διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως Μήτρα μίας στήλης ή μίας γραμμής, ισοδυναμεί με απεικόνιση του v στον διανυσματικό υπόχωρο με βάση τα διανύσματα που αντιστοιχούν στις γραμμές (ή στήλες, σε περίπτωση πολλαπλασιασμού Α*v) του Α·

Με άλλα λόγια, η Μήτρα Α ομοιάζει με συνάρτηση που μετασχηματίζει διανύσματα απεικονίζοντάς τα από έναν Διανυσματικό Χώρο σε έναν άλλον.

  • Το v είναι η είσοδος της συνάρτησης και
  • το γινόμενο v*A η έξοδος.

Έτσι για κάθε Γραμμική Απεικόνιση μπορεί να ορισθεί μία Μήτρα που την περιγράφει, dimV γραμμών και dimW στηλών (ή αντίστροφα, σε περίπτωση πολλαπλασιασμού Α*v), η οποία υπολογίζεται με τη βοήθεια μίας βάσης του V και μίας βάσης του W και διαφέρει για διαφορετική επιλογή βάσεων.

  • Η Μήτρα του αθροίσματος δύο γραμμικών απεικονίσεων είναι το άθροισμα των αντίστοιχων μητρών, ενώ
  • η Μήτρα της σύνθεσης δύο γραμμικών απεικονίσεων είναι το γινόμενο των αντίστοιχων μητρών.

Μία γραμμική απεικόνιση f είναι ισομορφισμός αν και μόνο αν η αντίστοιχη Μήτρα της είναι αντιστρέψιμη.

Η Μήτρα της ταυτοτικής απεικόνισης f: V -> V, όπου όμως χρησιμοποιείται διαφορετική βάση στο πεδίο ορισμού (Β1) και διαφορετική στο πεδίο τιμών (Β2), ονομάζεται Μήτρα αλλαγής βάσης και είναι αντιστρέψιμη ως Μήτρα ισομορφισμού.

ΘεώρημαEdit

Αν

Α είναι η Μήτρα μίας απεικόνισης f: V -> V (όχι της ταυτοτικής), όπου χρησιμοποιείται κοινή βάση στο πεδίο ορισμού και στο πεδίο τιμών (Β1), και

Γ η Μήτρα της f ως προς τη βάση Β2,

τότε ισχύει

Γ = (P-1)*A*P,

όπου: P η Μήτρα αλλαγής βάσης από τη Β1 στη Β2.

Ισοδυναμία ΜητρώνEdit

Δύο μήτρες που εκφράζουν την ίδια απεικόνιση f: V-> W αλλά με διαφορετική επιλογή βάσεων ονομάζονται ισοδύναμες.

Δύο μήτρες είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν την ίδια τάξη, όπου τάξη μίας μήτρας Α (rk(A)) ονομάζεται το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών της ή στηλών της (λαμβάνεται η μικρότερη από τις δύο ποσότητες).

Ομοιότητα ΜητρώνEdit

Όμοιες ονομάζονται δύο μήτρες που εκφράζουν την ίδια απεικόνιση f: V-> V αλλά με διαφορετική επιλογή βάσεων (και η κάθε Μήτρα έχει ίδια βάση στο πεδίο ορισμού και στο πεδίο τιμών).

ΑντιστρεψιμότηταEdit

Τέλος, μία τετραγωνικός η Μήτρα n x n είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν έχει τάξη n, δηλαδή αν όλες οι γραμμές του ή οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Όπως προαναφέρθηκε, αυτό διαισθητικά σημαίνει ότι η συνάρτηση / απεικόνιση / μετασχηματισμός που ορίζεται από την μήτρα είναι ένα προς ένα και επί (ισομορφισμός).

Συστήματα ΕξισώσεωνEdit

Οι πίνακες μπορούν επίσης να αξιοποιηθούν για την εύκολη επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων, αν οι συντελεστές των εξισώσεων αυτών θεωρηθούν διατεταγμένα στοιχεία μίας Μήτρας Α.

Έτσι το σύστημα μπορεί να εκφραστεί με συμβολισμό μητρών ως

Α*x=b,
όπου:
  • x το ζητούμενο διάνυσμα (συνιστώσες του οποίου είναι οι τιμές των αγνώστων που ικανοποιούν τις εξισώσεις του συστήματος) και
  • b το διάνυσμα των σταθερών όρων (συνιστώσες του οποίου είναι οι σταθεροί όροι κάθε εξίσωσης του συστήματος).

Η μέθοδος της απαλοιφής Gauss για την αριθμητική επίλυση τέτοιων συστημάτων, μέσω αναπαράστασης με μήτρα, αποτελεί εκλέπτυνση και συστηματικοποίηση της παραδοσιακής μεθόδου απαλοιφής συντελεστών για την επίλυση συστημάτων.

Ισοδυναμεί μαζί της σε αποτελεσματικότητα, όμως η απαλοιφή Gauss και ο λογισμός των γραμμοπράξεων στον οποίο βασίζεται μας παρέχουν ένα πολύ ισχυρό εργαλείο περιγραφής πιο προχωρημένων αλγεβρικών δομών και φαινομένων.

Επιπλέον η μεθοδολογία αυτή μπορεί να εφαρμοσθεί και σε πολλά ακόμα προβλήματα.

Παράδειγμα αποτελεί ο υπολογισμός μίας βάσης ενός διανυσματικού υποχώρου Α κάποιου διανυσματικού χώρου V, όταν δίδεται ένα σύνολο γεννητόρων του Α (έστω Κ), ακολουθώντας τα εξής βήματα:

  • Εφαρμόζουμε τον ισομορφισμό του V με τον διανυσματικό χώρο R(dimV) και γράφουμε όλα τα στοιχεία του Κ ως διανύσματα προς την κανονική βάση του R(dimV) (π.χ. το πολυώνυμο 2χ2+3χ+2 είναι το διάνυσμα (2,3,2)).
  • Δημιουργούμε μία Μήτρα, κάθε γραμμή της οποίας είναι ένα από τα προαναφερόμενα διανύσματα, και εφαρμόζουμε το πρώτο στάδιο της απαλοιφής Gauss (κλιμακοποίηση) σε αυτόν. Ας σημειωθεί ότι η τάξη μίας μήτρας, το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών της, δεν μεταβάλλεται αν εφαρμοστούν σε αυτήν στοιχειώδεις γραμμοπράξεις.
  • Οι γραμμές της προκύπτουσας Μήτρας είναι τα στοιχεία μίας βάσης του Α, καθώς οι γραμμές μίας κλιμακωτής μήτρας είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Με αυτόν τον τρόπο φαίνεται ακόμα ότι η τάξη μίας μήτρας μπορεί να βρεθεί με κλιμακοποίησή της.

Ορίζουσες Edit

Παρ' όλο που η απαλοιφή Gauss προσφέρει μία αποδοτική μέθοδο αριθμητικής επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, η θεωρία οριζουσών μας δίνει ένα ακόμα εργαλείο προς αυτήν την κατεύθυνση: έναν αναλυτικό τύπο για τον ίδιο σκοπό.

Σε κάθε τετραγωνική n x n μήτρα Α μπορεί να αντιστοιχιστεί ένας μοναδικός Πραγματικός Αριθμός, η ορίζουσά του (|Α|), ο οποίος υπολογίζεται με συγκεκριμένο τρόπο.

Αποδεικνύονται:

  • ότι αν μία n x n μήτρα έχει δύο γραμμές ή στήλες ίσες ή ανάλογες έχει ορίζουσα ίση με 0,
  • ότι αν μία n x n μήτρα έχει μία στήλη ή μία γραμμή που αποτελείται μόνο από 0 έχει ορίζουσα ίση με 0,
  • ότι μία τριγωνική μήτρα έχει ορίζουσα ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου και
  • ότι αν οι γραμμές ή οι στήλες μίας n x n μήτρας Α δεν είναι όλες γραμμικά ανεξάρτητες (οπότε έχει τάξη rkA < n και άρα δεν είναι αντιστρέψιμος) τότε έχει ορίζουσα 0 και το αντίστροφο.

Επίσης, αν σε μία n x n μήτρα εφαρμόσουμε την τρίτη στοιχειώδη γραμμοπράξη (rn = rn + λrm) η προκύπτουσα μήτρα έχει ίδια ορίζουσα με την αρχική, αν εφαρμόσουμε την πρώτη στοιχειώδη γραμμοπράξη (rn<->rm) η προκύπτουσα μήτρα έχει αντίθετη ορίζουσα από τον αρχικό, και αν αν εφαρμόσουμε τη δεύτερη στοιχειώδη γραμμοπράξη (rn = λrn) η προκύπτουσα μήτρα έχει ορίζουσα λ επί την ορίζουσα του αρχικού.

Επίσης η ορίζουσα του γινομένου δύο μητρών ισούται με το γινόμενο των επιμέρους οριζουσών, η ορίζουσα μίας n x n μήτρα ισούται με την ορίζουσα του αναστρόφου της και δύο όμοιες μήτρες έχουν ίδια ορίζουσα.

Όπως προαναφέρθηκε, μία Γραμμική Απεικόνιση f: V -> V είναι αντιστρέψιμη (άρα 1-1) αν και μόνο αν η μήτρα της είναι αντιστρέψιμος, έχει δηλαδή ορίζουσα διάφορη του 0.

Ο τύπος του Kramer παρέχει τη λύση ενός γραμμικού συστήματος n αγνώστων και n εξισώσεων, συναρτήσει των οριζουσών κάποιων παραλλαγών της μήτρας συντελεστών του συστήματος, αλλά έχει μόνο θεωρητικό ενδιαφέρον λόγω των πολλών πράξεων που απαιτεί· συνήθως χρησιμοποιείται η αριθμητική μέθοδος της απαλοιφής του Gauss για την επίλυση και τέτοιων (n x n) συστημάτων.

Πάντως αποδεικνύεται ότι σε n x n σύστημα Α*x=b, αν η ορίζουσα της μήτρας Α είναι 0 (οπότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιμη) τότε το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις συναρτήσει μιας παραμέτρου.

Αν η μήτρα Α είναι αντιστρέψιμη (έχει δηλαδή ορίζουσα διάφορη του 0) τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση που δίνεται από τον τύπο Kramer (ή είναι το τετριμμένο μηδενικό διάνυσμα σε ομογενές σύστημα).

Επίσης ισχύει ότι οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα (όχι μόνο με Α τετραγωνικό) δεν είναι αδύνατο όταν η τάξη της μήτρας Α ισούται με την τάξη της επαυξημένης μήτρας του συστήματος, ενώ από τη θεωρία οριζουσών προκύπτει και ένας τύπος για την άμεση εύρεση του αντιστρόφου μάς αντιστρέψιμης μήτρας με χρήση οριζουσών.

Μία πραγματική τιμή λ λέγεται ιδιοτιμή μίας μήτρας Α αν υπάρχει τουλάχιστον ένα διάνυσμα x τέτοιο ώστε Α*xx <=> (ΑΙ)x=0 (1).

Τα διανύσματα για τα οποία ισχύει αυτή η σχέση ονομάζονται ιδιοδιανύσματα του Α και το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων για δεδομένη ιδιοτιμή λi λέγεται ιδιόχωρος του Α για λi.

Διαισθητικά τα ιδιοδιανύσματα είναι τα διανύσματα τα οποία όταν μετασχηματίζονται από την μήτρα Α αλλάζουν μόνο ως προς το μήκος και όχι ως προς την κατεύθυνσή τους· το μέγεθος της αλλαγής του μήκους τους καθορίζεται από τις αντίστοιχες ιδιοτιμές.

Από κοινού οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα αποκαλούνται χαρακτηριστικά μεγέθη μίας μήτρας. Αποδεικνύεται ότι το ομογενές γραμμικό σύστημα (1) έχει λύση διάφορη της τετριμμένης μόνο όταν

|ΑΙ| = 0,

καθώς και ότι δύο όμοιες μήτρες διαθέτουν τα ίδια χαρακτηριστικά μεγέθη. Τα ιδιοδιανύσματα έχουν πολλαπλές χρήσεις στα Εφηρμοσμένα Μαθηματικά, κυρίως μέσω της δυνατότητας που παρέχουν για παραγοντοποίηση μίας τετραγωνικής μήτρας Α με προτυποποιημένο τρόπο χάρη στην ισότητα

Α = P*Δ*P-1,

η οποία ισχύει όταν η μήτρα Α είναι συμμετρική ή όταν καμία ιδιοτιμή της δεν επαναλαμβάνεται για διαφορετικά, γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους ιδιοδιανύσματά του, με μήτρες P και Δ οι οποίες κατασκευάζονται από τα χαρακτηριστικά μεγέθη της Α (ο Δ είναι διαγώνια με στοιχεία τις ιδιοτιμές της Α, ενώ η μήτρα P έχει ως στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα).

Η διαδικασία αυτή ονομάζεται διαγωνοποίηση και μπορεί να επεκταθεί και σε μη τετραγωνικούς πίνακες.

Θέματα -Τομείς Edit

  1. Αλγεβρική Ομάδα
  2. Αλγεβρικό Σώμα
  3. Διανυσματικός Χώρος.
  4. μήτρα (Πίνακας)
  5. Γραµµική Απεικόνιση
  6. Ορίζουσα
  7. Γραµµικό Σύστημα
  8. Γραµµικός Χώρος µε Εσωτερικό Γινόµενο
  9. Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
  10. Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο.
  11. Θεώρηµα Caley-Hamilton
  12. ∆ιαγωνοποίηση Μητρών.
  13. Ορθογώνια Μήτρα
  14. Συµµετρική Μήτρα,
  15. Ερµιτιανή Μήτρα

Διανυσματικοί ΧώροιEdit

Άλγεβρα Μητρών Edit

  • Ισοδύναμες μήτρες.
  • Όμοιοι μήτρες.

ΟρίζουσεςEdit

ΜετασχηματισμοίEdit

ΟρθογωνιότηταEdit

  • Ορθογωνιότητα,
  • ορθογώνιοι υπόχωροι,
  • προβολές,
  • ορθογώνιες βάσεις
  • ορθογώνιοι μήτρες,
  • ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt

ΙδιόχωροςEdit

  • Ιδιοτιμές
  • ιδιοδιανύσματα,
  • ιδιόχωρος,
  • χαρακτηριστικό πολυώνυμο,
  • αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμής, *διαγωνιοποίηση μήτρας,
  • θεώρημα Cayley-Hamilton,
  • μετασχηματισμοί ομοιότητας,
  • διαγωνιοποίηση συμμετρικού μήτρα,
  • ορθογώνια διαγωνιοποίηση

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

  • 1.«Γραµµική Άλγεβρα», Γ. Παντελίδης,-∆, Κραββαρίτης- Β. Νασόπουλος- Π. Τσεκρέκος , Εκδόσεις Συµεών.
  • 2.«Γραµµική Άλγεβρα και Εφαρµογές», Gilbert Strang, Πανεπιστηµιακές Ενδόσεις Κρήτης 2002.
  • 3.«Γραµµική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωµετρία», Θ. Χρυσακης
  • 4.«Γραµµική Άλγεβρα», Σ. Ανδρεαδάκης, ΕκδόσειςΣυµµετρία 1991.
  • 5.«Μαθηµατικά Ι- Άλγεβρα» , Γ λυκείου ΟΕ∆Β, 1990.
  • 6. Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δημήτριος Βάρσος κ. α., Εκδόσεις Σοφία
  • 7. Γραμμική Άλγεβρα, Ιωάννης Κρόκος, Εκδόσεις Άρνος

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki