Fandom

Science Wiki

Γωνία

63.880pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Γωνία

Angle


Angles-Parallel-01-goog.jpg

Γωνίες με παράλληλες πλευρές

Γωνία είναι το Επίπεδο Σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή.

  • Οι ημιευθείες λέγονται πλευρές της γωνίας και
  • η κοινή τους αρχή κορυφή της γωνίας.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Γωνία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[]]".

ΕισαγωγήEdit

Υιοθετώντας δεξιόστροφο προσανατολισμό, το γραμμοσκιασμένο υποσύνολο του επιπέδου λέγεται εσωτερικό και το μη γραμμοσκιασμένο, εξωτερικό της γωνίας.

Διχοτόμος μίας γωνίας χΟψ ονομάζεται μία ημιευθεία Οδ που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και είναι τέτοια ώστε να χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες χΟδ και δΟψ.

Στα πλαίσια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, η διχοτόμος μίας γωνίας είναι αξιωματικά μοναδική.

ΤαξινόμησηEdit

  • Μία γωνία στην οποία οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες λέγεται Ευθεία Γωνία. Με άλλα λόγια κάθε ευθεία με ένα σημείο της μπορεί να θεωρηθεί ως ευθεία γωνία.
  • Μια γωνία το εσωτερικό της οποίας δεν περιέχει κανένα σημείο λέγεται Μηδενική Γωνία,
  • Μια γωνία το εσωτερικό της οποίας περιέχει όλο το επίπεδο εκτός των πλευρών της λέγεται Πλήρης Γωνία. Κάθε ημιευθεία μπορεί να θεωρηθεί ως μηδενική ή πλήρης γωνία, ανάλογα με το πώς εκλαμβάνουμε το εσωτερικό της.
  • Ορθή Γωνία είναι μία γωνία που προκύπτει από τη διχοτόμηση μίας ευθείας γωνίας. Προφανώς, όλες οι ορθές είναι ίσες μεταξύ τους.
  • Κάθε γωνία μικρότερη από την ορθή λέγεται Οξεία Γωνία και
  • Κάθε κυρτή γωνία μεγαλύτερη από την ορθή λέγεται Αμβλεία Γωνία.

Σύγκριση γωνιών και πράξειςEdit

Ας είναι χΟψ και κΑλ δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την Οχ με την Ακ, ώστε η Αλ να βρίσκεται προς το μέρος της Οψ.

  • Αν οι Οψ και Αλ συμπίπτουν τότε λέμε ότι η γωνία χΟψ είναι ίση με την κΑλ και γράφουμε χΟψ = κΑλ.
  • Αν η Αλ βρίσκεται στο εσωτερικό της χΟψ τότε λέμε ότι η χΟψ είναι μεγαλύτερη από την κΑλ και γράφουμε χΟψ > κΑλ.
  • Αν η Αλ βρίσκεται στο εξωτερικό της χΟψ τότε λέμε ότι η χΟψ είναι μικρότερη από την κΑλ και γράφουμε χΟψ < κΑλ.

Δύο γωνίες που έχουν κοινή αρχή, μία κοινή πλευρά και κανένα κοινό εσωτερικό σημείο, λέγονται διαδοχικές ή εφεξής γωνίες.

  • Ας είναι χΟψ και κΑλ δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την Οψ με την Ακ, έτσι ώστε οι δύο γωνίες να είναι διαδοχικές. Λέμε άθροισμα των γωνιών χΟψ και κΑλ τη γωνία χΑλ και γράφουμε χΑλ = χΟψ + κΑλ.
  • Αν χΟψ > κΑλ, ταυτίζουμε την Οχ με την Ακ έτσι ώστε η Αλ να βρίσκεται στο εσωτερικό της χΟψ. Λέμε διαφορά της κΑλ από την χΟψ τη γωνία λΑψ και γράφουμε λΑψ = χΟψ - κΑλ.
  • Ας είναι χΟψ μια γωνία και ν ένας Φυσικός Αριθμός. Αν κΑλ είναι μια γωνία για την οποία \kappa A\lambda=\underbrace{\chi O\psi+\cdots+\chi O\psi}_\nu, τότε λέμε ότι η κΑλ είναι το ν-πλάσιο γινόμενο της χΟψ και γράφουμε \kappa A\lambda = \nu\cdot\chi O\psi. Γράφουμε επίσης \chi O\psi=\frac{1}{\nu}\cdot\kappa A\lambda και λέμε ότι η χΟψ είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο της κΑλ. Τέλος, αν μ είναι ένας φυσικός αριθμός και εΒζ είναι μια γωνία έτσι ώστε \epsilon B\zeta = \mu\cdot\chi O\psi, τότε γράφουμε \epsilon B\zeta = \frac{\mu}{\nu}\cdot\kappa A\lambda, και λέμε ότι η εΒζ είναι το γινόμενο ρητού αριθμού με γωνία.

Ως μέτρηση μιας γωνίας χΟψ εννοούμε την σύγκρισή της με μια άλλη γωνία, ας πούμε κΑλ, την οποία θεωρούμε αυθαίρετα μοναδιαία. Αν ισχύει \chi O\psi = \frac{\mu}{\nu}\cdot\kappa A\lambda, λέμε ότι το μέτρο ή το άνοιγμα της χΟψ ως προς την κΑλ είναι \frac{\mu}{\nu}. Το μέτρο μιας γωνίας συνδέεται και με το μέτρο τόξου σε κύκλο.

Ειδικά ζεύγη γωνιώνEdit

  • Δυο γωνίες στις οποίες οι πλευρές της μιας είναι οι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης, λέγονται κατακορυφήν γωνίες.
  • Δυο γωνίες με άθροισμα μια ευθεία γωνία, λέγονται παραπληρωματικές και
  • δυο γωνίες με άθροισμα μια ορθή γωνία, λέγονται συμπληρωματικές.

Στα πλαίσια της ευκλείδειας γεωμετρίας ισχύουν τα παρακάτω:

  • Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
  • Οι διχοτόμοι δυο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.
  • Αν δύο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες, και αντίστροφα.
  • Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους.

Ας είναι φ και χ δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ψ στα σημεία αντίστοιχα Α και Β. Σχηματίζονται οκτώ γωνίες, όπως φαίνεται στο σχήμα αριστερά.

  • Οι γωνίες Α1, Α2, Β3 και Β4 λέγονται εκτός των φ και χ.
  • Οι Α3, Α4, Β1 και Β2 λέγονται εντός των φ και χ.
  • Επίσης οι γωνίες Α1 και Β3 ονομάζονται εναλλάξ της ψ. Το ίδιο και για τις Α2 και Β4.
  • Τέλος καλούμε τις γωνίες Α2 και Β2 ως επι τα αυτά της ψ.

ΙδιότητεςEdit

  • Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε:
    • σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες
    • σχηματίζουν τις εντός-εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες
    • σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές
  • Δύο γωνίες που έχουν πλευρές παράλληλες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Απόδειξη: Έστω γωνίες φ και ω με πλευρές παράλληλες. Διακρίνουμε σε τρεις περιπτώσεις:

Αν φ < 90° και ω < 90° τότε είναι ίσες ως εντός εκτός επί τα αυτά με γωνία ρ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (αριστερά επάνω).

Αν φ > 90° και ω < 90°, όπως στο αντίστοιχο σχήμα (αριστερά κάτω) τότε είναι ίσες ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών, από την προηγούμενη περίπτωση.

Αν φ > 90° και ω > 90° τότε είναι παραπληρωματικές ως ίσες προς παραπληρωματικές. Στο αντίστοιχο σχήμα (δεξιά) φερειπείν έχουμε φ = ρ και ω + ρ = 180°.

  • Δύο γωνίες που έχουν πλευρές κάθετες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Απόδειξη: Έστω φ και ω δύο γωνίες με πλευρές κάθετες μία προς μία. Διακρίνουμε σε τρεις περιπτώσεις:

Αν φ < 90° και ω < 90° τότε από την κορυφή της ω φέρνουμε ημιευθείες παράλληλες αντίστοιχα στις πλευρές της φ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (επάνω). Η γωνία κΒι που σχηματίζεται θα είναι ίση με τη φ, σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα. Επίσης, επειδή η Βι είναι παράλληλη στην Αε και η Αε είναι κάθετη στην Βη, οι Βι, Βη είναι κάθετες, δηλαδή η γωνία ιΒη θα είναι ορθή. Όμοια, είναι και η κΒθ ορθή. Έχουμε τις ακόλουοθες διαδοχικά ισότητες γωνιών:

κΒθ = ιΒη
κΒη + ηΒθ = ιΒκ + κΒη
ηΒθ = ιΒκ
ω = φ

Αν φ > 90° και ω > 90° τότε είναι ίσες ως παραπληρωματικές οξειών γωνιών με κάθετες πλευρές.

Αν φ < 90° και ω > 90° τότε, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (κάτω), η εφεξής παραπληρωματική της ω είναι οξεία και έχει κάθετες πλευρές με τη φ, άρα είναι ίση της φ. Δηλαδή:

ηΒθ + θΒη' = 180°
ω + φ = 180°

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki