Fandom

Science Wiki

Δευτεροβάθμια Αλγεβρική Εξίσωση

63.284pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Δευτεροβάθμιος Αλγεβρική Εξίσωσις

algebraic Equation


Equation-01-goog.gif

Εξίσωση
Ανίσωση
Εξισώσεις
Μαθηματικές Εξισώσεις
Αλγεβρική Εξίσωση
Διαφορική Εξίσωση
Άλγεβρα
Μαθηματικά

Δευτεροβάθμια εξίσωση ονομάζεται κάθε Πολυωνυμική Εξίσωση δευτέρου βαθμού.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Αλγεβρική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Άλγεβρα".

ΠεριγραφήEdit

Γενική ΜορφήEdit

Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

\alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0,\,

όπου:

\alpha\ne 0 \,
  • Οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ ονομάζονται συντελεστές,
  • Ο αριθμός α είναι ο συντελεστής του x2,
  • Ο αριθμός β είναι ο συντελεστής του x
  • Ο αριθμός γ είναι ο σταθερός όρος.

Γενική Λύση Edit

Κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο λύσεις (ή διαφορετικά ρίζες) στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών που μπορεί να είναι είτε διαφορετικές ή ίσες (οι δύο λύσεις συμβολίζονται εδώ με x_+ \ και x_- \ ). Οι λύσεις μιάς δευεροβάθμιας εξίσωσης δίνονται από τον τύπο:

x_\pm= \frac{-\beta \pm \sqrt {\beta^2 - 4\alpha \gamma}}{2\alpha}

ΔιακρίνουσαEdit

Η παράσταση  \Delta = \beta^2 - 4\alpha \gamma ονομάζεται διακρίνουσα (σύμβολο \Delta) της εξίσωσης και λέγεται έτσι γιατί χρησιμοποιείται για να διακρίνουμε τρεις ποιοτικά διαφορετικές λύσεις τις εξίσωσης.

Περιπτώσεις ΛύσεωνEdit

Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • 1. Η Διακρίνουσα είναι θετική. Η εξίσωση έχει δύο λύσεις διαφορετικές που είναι και οι δύο πραγματικές. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η παραβολή που αντιστοιχεί στην εξίσωση τέμνει τον άξονα των x σε δύο σημεία. Επιπλέον αν η διακρίνουσα εκτός από θετική είναι και τέλειο τετράγωνο, οι λύσεις της εξίσωσης είναι και οι δύο ρητοί αριθμοί και η εξίσωση μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο δύο παραγόντων. Οι δύο πραγματικες λύσεις είναι οι:
x_+= \frac{-\beta + \sqrt {\beta^2 - 4\alpha \gamma}}{2\alpha} , και
x_- = \frac{-\beta - \sqrt {\beta^2 - 4\alpha \gamma}}{2\alpha}
  • 2. Η Διακρίνουσα είναι ίση με μηδέν. Η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα που είναι επιπλέον και πραγματική. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η παραβολή εφάπτεται με τον άξονα των x, σε ένα σημείο. Αυτό συβαίνει γιατί αν η διακρίνουσα είναι μηδέν η τετραγωνική ρίζα που έχει πρόσημο το +/- εξαφανίζεται και παραμένει έτσι μία μόνο λύση, η οποία είναι η εξής:
x = -\frac{\beta}{2\alpha} \
Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με διακρίνουσα μηδέν μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε τέλειο τετράγωνο.
  • 3. Η Διακρίνουσα είναι αρνητική. Η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές λύσεις που είναι όμως και οι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Επιπλέον οι δύο λύσεις είναι μεταξύ τους συζυγείς μιγαδικές. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η παραβολή ούτε τέμνει ούτε εφάπτεται με τον άξονα των x, για την ακρίβεια δεν έχει κανένα κοινό σημείο με αυτόν. Αν βγάλουμε ως κοινό παράγονα από την τετραγωνική ρίζα το  i = \sqrt{-1} τότε οι δύο συζυγείς λύσεις είναι οι:
x_+ = \frac{-\beta + i\sqrt {4\alpha \gamma - \beta^2}}{2\alpha} , και
x_- = \frac{-\beta - i\sqrt {4\alpha \gamma - \beta^2}}{2\alpha}
Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με διακρίνουσα αρνητική δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί.

Οι τύποι του VièteEdit

Οι τύποι του Viète δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

 x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha} , και
 x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha}

Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με P το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ώς εξής:

 x^2-Sx+P =0 \

όπου

 S = x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha} , και
 P = x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha}

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki