Fandom

Science Wiki

Διαφορική Εξίσωση

63.276pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Διαφορική Εξίσωσις

Differential Equation


Equations-Maths-goog.jpg

Μαθηματικά Άλγεβρα Μαθηματική Ανάλυση
Μαθηματική Εξίσωση Εξισώσεις Μαθηματικές ΕξισώσειςΑλγεβρική Εξίσωση Αλγεβρικές Εξισώσεις Διαφορική Εξίσωση Διαφορικές Εξισώσεις
Φυσική Φυσικός Νόμος

Differential-Equations-01-goog.jpg

Διαφορική Εξίσωση Διαφορική Ανάλυση Συνήθης Διαφορική Εξίσωση Μερική Διαφορική Εξίσωση Πρωτοτάξια Διαφορική Εξίσωση Δευτεροτάξια Διαφορική Εξίσωση

- Eίδος εξισώσεων.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Διαφορική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Διαφορά".

ΕισαγωγήEdit

Ο κύριος σκοπός της Επιστήμης είναι η κατανόηση της Φύσης μέσα στην οποία ζει ο Άνθρωπος-Παρατηρητής.

Η κατανόηση αυτή μπορεί να επιτευχθεί με την μελέτη των διαφόρων φαινομένων (φυσικών, κοινωνικών, οικονομικών κλπ).

Στη μελέτη ο πρωταρχικός ρόλος ανήκει στα Μαθηματικά.

Ιστορικά είχε γίνει αντιληπτό ότι:

α) όλες οι Οντότητες της Φύσης υφίστανται μεταβολές (όπως εκφράζει το γνωστό ρητό του Ηράκλειτου (544 - 484 π.Χ.)) "Πάντα ρει, πάντα χωρεί καί ουδέν μένει" (= Όλα ρέουν και αλλάζουν και τίποτα δεν παραμένει σταθερό).

β) τα Φαινόμενα είναι αλληλένδετα.

Παραδείγματα:

  • Η ταχύτητα ενός σώματος, που πίπτει υπό την επίδραση της βαρύτητας αλλάζει

με το χρόνο.

  • Η αεροδυναμική αντίσταση ενός σώματος αυξάνεται με την ταχύτητα.
  • Η θέση της Γης ως προς τον Ήλιο, όπως και των άλλων Πλανητών, αλλάζει με το χρόνο.
  • ΤΗ κύρτωση μιας δοκού εξαρτάται από το βάρος της.
  • Ο όγκος μιας σφαίρας μεταβάλλεται με την ακτίνα της.

Επειδή, όμως, τα περισσότερα φαινόμενα είναι αρκετά πολύπλοκα, είναι πρακτικά αδύνατο να θεμελιωθούν και να περιγραφούν πλήρως με μαθηματικό τρόπο.

Οπότε, η Επιστήμη προσπαθεί να προσεγγίσει την Πραγματικότητα με μαθηματικά πρότυπα (models), θεωρώντας ορισμένες υποθέσεις που απλοποιούν τα φαινόμενα και τους νόμους που τα διέπουν.

Οι απλοποιήσεις αυτές ανάγονται συνήθως στην παράλειψη ορισμένων στοιχείων, που θεωρούνται ότι επιδρούν ελάχιστα (ή μη-καθοριστικά) στην εξέλιξη του φαινομένου.

Η δημιουργία του μαθηματικού προτύπου γίνεται με μια μαθηματικοποίηση των αντιστοίχων νόμων που, επειδή συνήθως περιέχουν ρυθμούς μεταβολής ενός μεγέθους, (ποσοτικά άγνωστου), εκφράζονται με παραγώγους του άγνωστου αυτού μεγέθους.

Με αυτό τον τρόπο το μαθηματικό πρότυπο λαμβάνει την μορφή μιας συναρτησιακής σχέσης που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση και ορισμένες παραγώγους της.

Η συναρτησιακή αυτή σχέση είναι η Διαφορική Εξίσωση.

ΙστορίαEdit

Η Διαφορική Ανάλυση είναι ο κλάδος των μαθηματικών που οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική Φυσική.

Εμφανίζονται, αρχικά, την εποχή του Newton (1642-1727) και του Leibniz (1646-1716).

Ο Newton είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε διαφορική εξίσωση για την κίνηση των σωμάτων περιοριζόμενος στην απλούστερη μορφή τους

O Leibniz ανέπτυξε τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, των ομογενών πρώτης τάξης και των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης.

Επίσης, στον Leibniz όμως οφείλονται οι συμβολισμοί της παραγώγου dy/dx και του ολοκληρώματος ∫f(x)dx.

Μετά τους Newton και Leibniz, τον 18ον αιώνα, διάφοροι μαθηματικοί, όπως οι Jacob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Clairaut (1713- 1765), Riccati (1676-1754), ασχολήθηκαν με τις εκφράσεις των λύσεων διαφορικών εξισώσεων και διάφορες διαφορικές εξισώσεις έχουν πάρει το όνομά τους.

Την ίδια περίοδο, ένας εξέχων μαθηματικός, ο Euler (1707- 1783), ασχολήθηκε με τη διατύπωση προβλημάτων της Μηχανικής στη μαθηματική γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων και την ανάπτυξη μεθόδων για τη λύση τους.

Αργότερα, οι Γάλλοι μαθηματικοί Cauchy (1789-1857), Lagrange (1736-1813), και Laplace (1749-1827), έκαναν σημαντικές εργασίες στις διαφορικές εξισώσεις και οι δυο τελευταίοι έδωσαν την πρώτη επιστημονική εργασία πάνω στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους.

Ενώ, κατά τον 17ον και 18ον αιώνα, δόθηκε έμφαση στην επίλυση διαφόρων μορφών διαφορικών εξισώσεων, αναζητώντας εκφράσεις για τις λύσεις τους, κατά τη διάρκεια του τελευταίου τέταρτου του 19ου αιώνα, η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων προχώρησε και σε έναν ριζικά διαφορετικό δρόμο.

Ο Peano (1858-1932), το 1890, χρησιμοποιώντας την πολυγωνική μέθοδο των Euler και Cauchy, έδωσε μια αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης.

Την ίδια περίοδο ο Lipschitz (1832-1903), το 1876, και ο Picard (1856-1941), το 1890 απέδειξαν πως η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων δίνει συγχρόνως μια απόδειξη για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων του προβλήματος της αρχικής τιμής ή, όπως αλλιώς λέγεται, του προβλήματος Cauchy.

Το ίδιο χρονικό διάστημα, με τις έρευνες του Poincare (1854-1912), το 1881, και του Liapunov (1857-1918) το 1892, άνοιγε νέος δρόμος, η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων.

Εδώ θεωρήθηκε δεδομένη η ύπαρξη των λύσεων και η προσπάθεια γίνεται στον προσδιορισμό των τοπολογικών ιδιοτήτων του χώρου των φάσεων και της συμπεριφοράς των λύσεων όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο.

Στη συνέχεια, στο πρώτο μισό του 20ου αιώνα, έγιναν μεγάλες πρόοδοι στην ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων από διάφορους μαθηματικούς, όπως ο Birkhoff (1884-1944) και ο Lefschetz (1884-1972).

Τελευταία, πολλοί σύγχρονοι μαθηματικοί, όπως οι Cesari, Hale, Lasalle (1916-1983), Arnold, Yoshizawa, Sell, με τις εργασίες τους συνέβαλαν σημαντικά στην ποιοτική ανάπτυξη της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.

Στην Σύγχρονη Εποχή η Διαφορική Ανάλυση αποτελεί ένα σημαντικό κλάδο της Μαθηματικής Ανάλυσης.

ΧαρακτηριστικάEdit

  1. Μία διαφορική εξίσωση είναι μία εξίσωση που περιέχει παραγώγους και της οποίας ο άγνωστος (άγνωστοι) είναι συναρτήσεις.
  2. Μία συνήθης διαφορική εξίσωση περιέχει μόνο συνήθεις παραγώγους.
  3. Μία μερική διαφορική εξίσωση περιέχει μερικές παραγώγους.
  4. Τάξη της διαφορική εξίσωση είναι η τάξη της ανώτερης παραγώγου της εξίσωσης.
  5. Στις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις η άγνωστη συνάρτηση και οι παράγωγοί της εμφανίζονται γραμμικά.
  6. Στις μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις η άγνωστη συνάρτηση ή και οι άγνωστοί της, εμφανίζονται μη γραμμικά.
  7. Στις ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δεν υπάρχει όρος που να περιέχει την άγνωστη συνάρτηση ή τις παραγώγους της.
  8. Στις μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις εμφανίζεται όρος που εξαρτάται μόνο απο την ανεξάρτητη μεταβλητή.
  9. Στις γραμμικές και ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ισχύει η αρχή της επαλληλίας ή υπέρθεσης, δηλαδή ο γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι επίσης λύση της διαφορικής εξίσωσης.
  10. Λύση διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται μια οποιαδήποτε συνάρτηση η οποία επαληθεύει την διαφορική εξίσωση
  11. Η γενική λύση περιέχει τόσες αυθαίρετες σταθερές, όση είναι και η τάξη της διαφορικής εξίσωσης.
  12. Μερική λύση ονομάζεται μια οποιαδήποτε λύση
  13. Ιδιάζουσα λύση δεν περιλαμβάνεται στη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.
  14. Στις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις η γενική λύση δίνεται απο τη λύση της αντίστοιχης ομογενούς συν μία οποιαδήποτε μερική λύση της πλήρους εξίσωσης.

ΤαξινομίαEdit

Τύποι Διαφορικών ΕξισώσεωνEdit

Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι διαφορικών εξισώσεων:

Κατηγορίες Διαφορικών ΕξισώσεωνEdit

Επίσης:

Εφηρμοσμένες Διαφορικές ΕξισώσειςEdit

Διαφορικές Εξισώσεις 1ης τάξηςEdit

Διαφορικές Εξισώσεις 2ης τάξηςEdit

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΥποσημειώσειςEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki