Εικασία Goldbach
conjecture, List of conjectures
Εικασία 1/3-2/3 Εικασία abc Εικασία Andrews-Curtis Εικασία Angel Εικασία Agoh-Giuga Εικασία Andrica Εικασία Artin Εικασία Bateman-Horn Εικασία Baum-Connes Εικασία Beal Εικασία Beilinson Εικασία Berry-Tabor Εικασία Birch-Swinnerton-Dyer Εικασία Birch-Tate Εικασία Birkhoff Εικασία Bloch-Beilinson Εικασία Bloch-Kato Εικασία Bombieri-Lang Εικασία Borel Εικασία Farrell-Jones Εικασία Bost Εικασία Brocard Εικασία Brumer-Stark Εικασία Bunyakovsky Εικασία Catalan-Dickson Εικασία Caratheodory Εικασία Carmichael Εικασία Casas-Alvero Εικασία Catalan Εικασία Cherlin-Zilber Εικασία Collatz Εικασία Cramer Εικασία Conway Εικασία Deligne Εικασία Eilenberg-Ganea Εικασία Elliott-Halberstam Εικασία Erdos-Burr Εικασία Erdos-Faber-Lovasz Εικασία Erdos-Gyarfas Εικασία Erdos-Straus Εικασία Farrell-Jones Εικασία Gilbreath Εικασία Giuga Εικασία Goldbach Εικασία Goormaghtigh Εικασία Green Εικασία Grimm Εικασία Grothendieck Εικασία Guralnick-Thompson Εικασία Hadamard Εικασία Hedetniemi Εικασία Herzog-Schonheim Εικασία Hilbert-Smith Εικασία Hirsch Εικασία Hopf Εικασία Hodge Ομολογιακή Εικασία Ιακωβιανή Εικασία Εικασία Jacobson Εικασία Kakeya Εικασία Kaplansky Εικασία Keating-Snaith Εικασία Kepler Εικασία Kothe Εικασία Lawson Εικασία Lemoine Εικασία Lenstra-Pomerance-Wagstaff Εικασία Lichtenbaum Εικασία Littlewood Εικασία Lovasz Εικασία MNOP Εικασία Mazur Εικασία Deligne Εικασία Nagata Εικασία Nirenberg-Treves Εικασία Novikov Εικασία Oppermann Εικασία Pierce-Birkhoff Εικασία Pillai Εικασία dePolignac Εργοδηγική Εικασία Εικασία Quillen-Lichtenbaum Εικασία Ανακατασκευής Υπόθεση Riemann Γενικευμένη Υπόθεση Riemann Μεγάλη Υπόθεση Riemann Υπόθεση Πυκνότητας Υπόθεση Lindelof Εικασία Hilbert-Polya Εικασία Ringel-Kotzig Εικασία Sato-Tate Εικασία Schanuel Εικασία Schinzel Εικασία Scholz Εικασία Selfridge Εικασία Sendov Εικασία Serre Εικασία Singmaster Εικασία Tate Εικασία Toeplitz Ομογενειακή Εικασία Εικασία Vandiver Εικασία Vizing Εικασία vonNeumann Εικασία Waring Εικασία Weinstein Εικασία Whitehead Εικασία Zhou
- Μία εικασία
Ετυμολογία[]
Η ονομασία "Εικασία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "εικόνα".
Εισαγωγή[]
Η εικασία του Goldbach είναι ένα από τα παλαιότερα άλυτα προβλήματα της Αριθμοθεωρίας και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:
Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε
- για κάθε n ≧ 2, , όπου p, q πρώτοι αριθμοί.
Για παράδειγμα,
- 4 = 2 + 2
- 6 = 3 + 3
- 8 = 3 + 5
- 10 = 3 + 7 = 5 + 5
- 12 = 5 + 7
- 14 = 3 + 11 = 7 + 7
- κτλ.
Εισαγωγή[]
Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Goldbach έστειλε μία επιστολή στον Euler, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία:
- Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων.
Θεωρούσε βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής:
- Κάθε περιττός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.
Ο Euler απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:
- Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων,
προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα (”ein ganz gewisses Theorema”), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει.
Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Goldbach, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Goldbach.
Η εικασία ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφούν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η “αδύναμη” εικασία του Goldbach. Και οι δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.
Προσπάθειες απόδειξης[]
Όπως με πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από διαδεδομένες αποδείξεις της εικασίας του Goldbach, από τις οποίες όμως καμία δεν έχει γίνει, ακόμη, αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα.
Ο εκδοτικός οίκος "Faber and Faber" προσέφερε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον αποδείκνυε την εικασία του Goldbach μέσα στο χρονικό διάστημα από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε και έτσι η εικασία παραμένει ακόμα και μέχρι σήμερα ανοικτή.
Ιστορία[]
Η εικασία φαντάζει αρκετά εύκολη, όμως οι παγίδες που κρύβει είναι μεγάλες. Ο Πιέτ Χέιν, ένας από τους μαθηματικούς που έχουν ασχοληθεί με την εικασία, αναφερόμενος στο φαινομενικά απλό ερώτημα του Goldbach είχε πει
- «Είναι ένα πρόβλημα που αξίζει να του επιτεθείς. Αποδεικνύει την αξία του όταν σου αντεπιτεθεί».
Αν κάποιος αρχίσει να παίρνει με τη σειρά τους άρτιους αριθμούς θα διαπιστώσει ότι όλοι τους πληρούν τις προϋποθέσεις της εικασίας. Για παράδειγμα, ο αριθμός 100 προκύπτει από τη πρόσθεση των 3 και 97. Οι δύο αυτοί αριθμοί είναι πρώτοι, αφού διαιρούνται μόνο από το 1 και τους εαυτούς του αντίστοιχα. Σε περίπτωση όμως που προχωρήσουμε σε μεγαλύτερους αριθμούς, τότε θα χρειασθεί μια φόρμουλα που θα αποδεικνύει την ύπαρξη των κριτηρίων της εικασίας, καθώς οι προσθέσεις θα είναι πρακτικά αδύνατες.
Η φόρμουλα αυτή δεν έχει βρεθεί ακόμη, όσες προσπάθειες και αν έχουν γίνει. Λαμβάνοντας υπ’ όψιν τη τρομακτική εξέλιξη της τεχνολογίας του τελευταίου αιώνα, το γεγονός αυτό προκαλεί ακόμη μεγαλύτερη εντύπωση. Ακόμα και ο ισχυρότερος υπολογιστής δεν μπορεί να αντεπεξέλθει στις απαιτήσεις της εικασίας. Το πρόβλημα θα γινόταν πολύ απλούστερο αν βρισκόταν ένας συγκεκριμένος αριθμός, όπου πέραν αυτού όλοι οι υπόλοιποι θα ικανοποιούσαν τη θεωρία. Ο αριθμός αυτός βρέθηκε από το Ρώσο μαθηματικό Ιβαν Βινογκράντοφ το 1937. Όμως είναι τόσο μεγάλος που και πάλι δεν βοηθά καθόλου στους υπολογισμούς.
Μετά από το πρώτο βήμα του Βινογκράντοφ, πολλοί μαθηματικοί εστίασαν στη καλύτερη προσέγγιση του συγκεκριμένου αριθμού. Το 1989 βρέθηκε ένας αριθμός πολύ πιο «βολικός» από αυτόν του Ρώσου μαθηματικού. Πρόκειται για το 1043000 , έναν αριθμό που επίσης δεν μπορεί να βοηθήσει λόγω του τεράστιου μεγέθους του. Είναι αδύνατον να ελεγχθούν όλοι οι αριθμοί μέχρι τον συγκεκριμένο, με τις δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστών.
Η ενδεχόμενη λύση, έχει να δώσει απαντήσεις σε εκατοντάδες θεωρήματα που βασίζονται στη μετέωρη παραδοχή ότι η εικασία ισχύει.
Δεύτερη Εικασία του Goldbach[]
Η δεύτερη εικασία ή ασθενής εικασία του Goldbach αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα τριών πρώτων. Η εικασία ονομάζεται ασθενής, επειδή αν αποδειχθεί η κύρια εικασία, η απόδειξή αυτής είναι εύκολη. Κάθε άρτιος ακέραιος σύμφωνα με την εικασία, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Προσθέτοντας σε αυτό το άθροισμα το 3 κατασκευάζονται όλοι οι περιττοί αριθμοί οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι του 5.
Η ασθενής εικασία αποδείχθηκε το 2013 από τον Περουβιανό μαθηματικό Harald Andrés Helfgott
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
Βιβλιογραφία[]
- Απόστολος Κ. Δοξιάδης: Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Goldbach
Ιστογραφία[]
- Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
- Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
- Η πρωτότυπη επιστολή του Goldbach προς τον Euler
- Η εικασία του Goldbach στο Wolfram Mathworld
- Ιστοσελίδα για την επαλήθευση της εικασίας σε δεδομένο ακέραιο
 Κίνδυνοι Χρήσης
|
|---|
|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)