Fandom

Science Wiki

Εξισώσεις Euler-Lagrange

Ανακατεύθυνση από Εξίσωση Euler-Lagrange

63.874pages on
this wiki
Add New Page
Talk4 Share

Εξισώσεις Euler-Lagrange

Euler-Lagrange Equation


Laws-Science-01-goog.jpg

Επιστημονικός Νόμος Επιστημονικοί Νόμοι
Μαθηματικό Θεώρημα Νόμοι Μαθηματικών
Φυσικός Νόμος Νόμοι Φυσικής
Νόμοι Χημείας
Νόμοι Γεωλογίας
Νόμοι Βιολογίας
Νόμοι Οικονομίας

Physics-Atom-01-goog.jpg

Φυσική
Φυσικοί Γης Νόμοι Φυσικής Νόμοι Φυσικής Θεωρίες Φυσικής Πειράματα Φυσικής Παράδοξα ΦυσικήςΠροβλήματα Φυσικής

Differential-Equations-01-goog.jpg

Διαφορική Εξίσωση Διαφορική Ανάλυση Συνήθης Διαφορική Εξίσωση Μερική Διαφορική Εξίσωση Πρωτοτάξια Διαφορική Εξίσωση Δευτεροτάξια Διαφορική Εξίσωση

Physicists-Langrange-01-goog.jpg

Joseph-Louis Lagrange
Αναλυτική Μηχανική Λαγρασιανή

- Μία Εξίσωση.

ΕτυμολογίαEdit

Πρότυπο:Equations

Η ονομασία "Εξίσωση Euler-Lagrange" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " ".

ΕισαγωγήEdit

Το ολικό διαφορικό της Λαγρασιανής:

 d\mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} dx+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} dx

Field theories, both Κλασσική Πεδιακή Θεωρία and Κβαντική Πεδιακή Θεωρία, deal with continuous coordinates, and like Κλασσική Μηχανική, has its own Euler-Lagrange equation of motion for a field,

 \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0. \,
όπου:
\psi \, is the field, and
\partial\, is a vector differential operator:
\partial_\mu = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right). \,

ΑπόδειξηEdit

Ως γνωστόν, η Λαγρασιανή είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών:

  • του χρόνου (t)
  • της θέσης (x)
  • της ταχύτητας (υ)

Επομένως γράφεται:

 \mathcal{L} = \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t))

Το ολικό διαφορικό της Λαγρασιανής:

 \delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \delta t + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} \delta x+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \delta \dot{x}

Elle repose sur le lemme fondamental du calcul des variations. Nous cherchons une fonction x rendant extrémale la fonctionnelle et satisfaisant les conditions aux bords[1] :

  • f\left(a\right) = c
  • f\left(b\right) = d

On a ainsi :

J = \int_{t_0}^{t_1} f\left(t,x\left(t\right),\dot x\left(t\right)\right) \, \mathrm dt

Supposons que les dérivées premières de f soient continues.

Si x rend extrémale J, alors une perturbation infinitésimale de x préservera les conditions aux bords et augmentera J (si x est un minimum) ou diminuera J (si x est un maximum).

Soit x_\epsilon\left(t\right)=x\left(t\right)+\epsilon\eta\left(t\right) une perturbation de x, où \eta\left(t\right) est une fonction différentiable vérifiant \eta\left(t_0\right)=\eta\left(t_1\right)=0. Définissons :

J\left(\epsilon\right) = \int_{t_0}^{t_1} f\left(t,x_\epsilon\left(t\right), \dot x_\epsilon\left(t\right) \right) \, \mathrm dt

Calculons alors la dérivée de J par rapport à \epsilon.

 \frac{\mathrm dJ}{\mathrm d \epsilon} = \int_{t_0}^{t_1} \frac{\partial f}{\partial \epsilon} \left(t,x_\epsilon\left(t\right), \dot x_\epsilon\left(t\right) \right) \, \mathrm dt

Le développement du calcul donne, si

\frac{\partial f}{\partial \epsilon} = \frac{\partial f}{\partial x_{\epsilon}}\frac{\partial x_{\epsilon}}{\partial \epsilon} + \frac{\partial f}{\partial {\dot x_{\epsilon}}}\frac{\partial \dot x_{\epsilon}}{\partial \epsilon} = \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x_{\epsilon}} + \dot\eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x_{\epsilon}}

Donc :

 \frac{\mathrm dJ}{\mathrm d\epsilon} = \int_{t_0}^{t_1} \left( \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x_{\epsilon}} + \dot\eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x_{\epsilon}} \right) \, \mathrm dt

Quand  \epsilon =0 nous avons   x_\epsilon =x et comme  x est un extremum de  J il s'ensuit que  \frac{\mathrm dJ}{\mathrm d\epsilon} = 0 , soit encore :

 \frac{\mathrm dJ}{\mathrm d\epsilon}\left(0\right) = \int_{t_0}^{t_1}{\left( \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} + \dot \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x}\right) \, \mathrm dt} = \int_{t_0}^{t_1}{ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm dt} + \int_{t_0}^{t_1}{ \dot \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \, \mathrm dt}

Par intégration par parties :

0 = \int_{t_0}^{t_1} { \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm dt} + \left[ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right]_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} { \eta\left(t\right) \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x} \, \mathrm dt} = \int_{t_0}^{t_1} {\left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) \eta\left(t\right) \, \mathrm dt} + \left[ \eta\left(t\right) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right]_{t_0}^{t_1}

Avec les conditions aux bords \eta(t_0)=\eta(t_1)=0, on a :

0 = \int_{t_0}^{t_1} {\left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right) \eta\left(t\right)\, \mathrm dt}

En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations avec \eta(t_0)=\eta(t_1)=0, on obtient :

0 = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x}

ΥποσημειώσειςEdit

  1. Une autre démonstration, dans un contexte très général, et fondée sur le lemme de Du Bois-Reymond, peut être trouvée à Démonstration de l'équation d'Euler-Lagrange.

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki