Fandom

Science Wiki

Ευκλείδεια Γεωμετρία

63.277pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ευκλείδειος Γεωμετρία

Euclidean Geometry


Geometry-Models-01-goog.gif

Ελλειπτικός Χώρος
Ευκλείδειος Χώρος
Υπερβολικός Χώρος

Lines-Parallel-02-goog.png

Παραλληλία

- Ένας Επιστημονικός Κλάδος της Γεωμετρίας.

ΕτυμολογίαEdit

Το όνομα "Ευκλείδεια" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Ευκλείδης".

ΕισαγωγήEdit

Γεωμετρία είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του Χώρου που περιβάλλει τον άνθρωπο.

Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα.

Τα αξιώματα μπορούν να αποδειχθούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.

Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η Γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των Μαθηματικών, και ο πρώτος που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση, από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που το αποτελούσαν 13 τόμοι.

ΑντικείμενοEdit

Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του Χώρου και των σχημάτων, επίπεδων και στερεών που μπορεί να υπάρξουν μέσα σε αυτόν.

Γενικότερα στο χώρο διακρίνουμε:

Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή απο το περιβάλλον.

Σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν.

Στην καθημερινή γλώσσα αναφερόμαστε σε

  • «γραμμές της ασφάλτου»
  • ή «σιδηροδρομικές γραμμές»,
  • ή «ακτοπλοϊκές γραμμές»

λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό σημείο.

Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε «πρωταρχικούς όρους» και άλλοτε «γεωμετρικές προτάσεις».

Γεωμετρικές Έννοιες Edit

Βοηθητικές αυτών θεωρούνται

Κάθε πρόταση περιέχει την υπόθεση και το συμπέρασμα, που καταλήγουμε με τη βοήθεια της απόδειξης.

  • Η «υπόθεση» και το «συμπέρασμα» λέγονται συνθήκες της πρότασης.

Στη Γεωμετρία δύο προτάσεις λέγονται:

αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.
αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης, και τέλος
αντιστροφοαντίθετες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.
  • Αν δύο προτάσεις σχετίζονται με μία από τις τρεις προηγούμενες σχέσεις τότε η μία καλείται ευθεία πρόταση και η άλλη «αντίστροφη» ή «αντίθετη» ή «αντιστροφοαντίθετη», αντίστοιχα.
  • Δύο αντίστροφες προτάσεις λέγονται και ισοδύναμες όπου η κάθε μια εξ αυτών ονομάζεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την άλλη.

Κατά την εξέταση των γεωγραφικών σχημάτων η Γεωμετρία διακρίνεται στην Επιπεδομετρία και στη Στερεομετρία.

Ιστορικά η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος τεχνικός κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε στο πέρασμα των αιώνων σε επιστήμη, αλλά και για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.

Βασικά στοιχείαEdit

Η μελέτη της Γεωμετρίας, όπως και κάθε αξιωματικής θεωρίας, ξεκινά από πρωταρχικές έννοιες, οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά και τις οποίες γίνονται δεκτές χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις.

Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του ανήκειν, αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από «σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία» ή για «κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα» κ.λ.π.

Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα αξιώματα, δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία.

Χαρακτηριστικά αναφέρονται (αναλυτικότερα) τα Αξιώματα Hilbert.

Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα αποδεικνύοντας όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας· κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα. Η αποδεικτική μέθοδος είναι κατά βάση κατασκευαστική και συνίσταται στη χρήση κανόνα και διαβήτη.

Σημεία που ανήκουν στην ίδια ευθεία λέμε ότι είναι συνευθειακά. Κάθε σημείο Α ευθείας ε χωρίζει την ε σε δύο ημιευθείες, τη μία αντικείμενη της άλλης. Το Α λέγεται αρχή κάθε ημιευθείας. Κάθε ευθεία ε επιπέδου p χωρίζει το p σε δύο αντικείμενα ημιεπίπεδα. Η ε λέγεται ακμή κάθε ημιεπιπέδου.

Ευκλείδεια ΑξιώματαEdit

Τα αξιώματα επί των οποίων στηρίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία ονομάζονται γεωμετρικά αξιώματα. Πρόκειται για προτάσεις που θεωρούνται παραδεκτές χωρίς όμως και να αποδεικνύονται.

Τα γεωμετρικά αξιώματα διακρίνονται σε τρεις βασικές κατηγορίες:

Αξιώματα θέσης
Αξιώματα ισότητας και
Αξιώματα διάταξης

Αξιώματα θέσηςEdit

Αξίωμα Ι: Μία ευθεία έχει τουλάχιστον δύο σημεία, ενώ υφίσταται τουλάχιστον ένα σημείο έξω από την ευθεία.
Αξίωμα ΙΙ: Από δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.
Αξίωμα ΙΙΙ: Μια ευθεία μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα και από τα δύο μέρη, που ορίζουν τα δύο σημεία της. (Συνεπώς η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή, ούτε τέλος).
Αξίωμα IV: Ένα επίπεδο έχει τρία τουλάχιστον σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και ένα σημείο εκτός.
Αξίωμα V: Από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ένα μόνο επίπεδο διέρχεται.
Αξίωμα VI: Η ευθεία που ενώνει δύο σημεία επιπέδου είναι ευθεία του επιπέδου.
Αξίωμα VII: Ένα επίπεδο μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα και τέλος
Αξίωμα VIII: Κάθε γεωμετρικό σχήμα χωρίς να μεταβληθεί μπορεί να αλλάξει θέση στο γεωμετρικό χώρο.

Αξιώματα ισότηταςEdit

Δύο γεωμετρικά σχήματα ονομάζονται ίσα όταν τοποθετούμενα το ένα επί του άλλου εφαρμόζουν ακριβώς σε όλα τα μέρη τους.

Αξίωμα Ι: Ένα σχήμα είναι πάντοτε ίδιο με τον εαυτό του (ανακλαστική ιδιότητα).
Αξίωμα ΙΙ: Όταν ένα σχήμα είναι ίσο με άλλο, τότε και το δεύτερο είναι ίσο με το πρώτο (συμμετρική).
Αξίωμα ΙΙΙ: Όταν δύο σχήματα είναι ίσα με ένα τρίτο, είναι και μεταξύ τους ίσα (μεταβατική ιδιότητα).
Αξίωμα IV: Δύο σχήματα είναι αδύνατον να είναι ταυτόχρονα ίσα και άνισα.

Αξιώματα διάταξηςEdit

Τρία σημεία, έστω: Α, Β και Γ που βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία (ε) λέμε ότι αποτελούν στην ευθεία την "διάταξη Α, Β, Γ" ή ότι τα τρία σημεία αυτά είναι διαδοχικά σημεία πάνω στην ευθεία. Τότε το σημείο Β λέγεται και ενδιάμεσο των Α και Γ.

Αξίωμα Ι: Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία σε μιά ευθεία τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που είναι ενδιάμεσο των Α και Β στην ίδια ευθεία (ε)
Αξίωμα ΙΙ: Αν Α και Β είναι επίσης δύο διαφορετικά σημεία σε μια ευθεία τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που ανήκει στην ευθεία (ε) σε θέση τέτοια που το Β να είναι ενδιάμεσο των σημείων Α και Γ.
Αξίωμα ΙΙΙ: Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία μιας ευθείας τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που ανήκει στην ευθεία (ε) σε θέση τέτοια που το Α πλέον να είναι ενδιάμεσο των σημείων Β και Γ.

Γεωμετρικά ΠροβλήματαEdit

Στην αρχαιότητα ήταν γνωστά τρία γεωμετρικά προβλήματα, που προσπαθούσαν να τα λύσουν με τη χρήση αδιαβάθμητου κανόνα και διαβήτη:

Τα προβλήματα αυτά, όπως αποδείχθηκε αργότερα (Wantzel, 1837), δεν μπορούν να λυθούν μόνο με κανόνα και διαβήτη.

Σύμφωνα με τον Γάλλο μαθηματικό Galois (1811 - 1832), για να λυθεί ένα γεωμετρικό πρόβλημα αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη, θα πρέπει να ανάγεται σε λύση πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Τα δύο πρώτα προβλήματα απαιτούν την κατασκευή κυβικής ρίζας, ενώ για το τρίτο, απιτεί πλήρη γνώση των δεκαδικών του π . Όμως το π είναι Υπερβατικός Αριθμός (Θεώρημα Lindemann - Weierstrass, 1882), που σημαίνει, ότι δεν αποτελεί λύση Πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.

Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, όταν είδαν, ότι οι προσπάθειές τους δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός τού κύκλου και κατασκεύασαν και βοηθητικά όργανα (πέραν τού κανόνα και τού διαβήτη) για τη σχεδίαση αυτών των καμπύλων.

Ιστορική ΚαταγραφήEdit

Ευκλείδεια Αιτήματα:

1. Ἠιτήσθω ἀπό παντός σηµείου ἐπί πᾶν σηµεῖον εὐθεῖαν γραµµήν ἀγαγεῖν.
2. Καί πεπερασµένην εὐθεῖαν κατά τό συνεχές ἐν εὐθείας ἐκβαλεῖν.
3. Καί παντί κέντρῳ καί διαστήµατι κύκλον γράφεται.
4. Καί πάσας τάς ὀρθάς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
5. Καί ἐάν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐµπίπτουσα τά ἐντός καί ἐπί τά αὐτά µέρη γωνίας δύο ορθῶν ἐλλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλοµένας τάς δύο εὐθείας ἐπ’ ἂπειρον συµπίπτειν ἐφ’ ἃ µέρη εἰσίν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλλάσσονες

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki