Ευκλείδειος Γεωμετρία
Ευκλείδειος Χώρος
Υπερβολικός Χώρος
- Ένας Επιστημονικός Κλάδος της Γεωμετρίας.
Ετυμολογία
Το όνομα "Ευκλείδεια" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Ευκλείδης".
Εισαγωγή
Γεωμετρία είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του Χώρου που περιβάλλει τον άνθρωπο.
Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα.
Τα αξιώματα μπορούν να αποδειχθούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.
Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η Γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των Μαθηματικών, και ο πρώτος που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση, από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που το αποτελούσαν 13 τόμοι.
Αντικείμενο
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του Χώρου και των σχημάτων, επίπεδων και στερεών που μπορεί να υπάρξουν μέσα σε αυτόν.
Γενικότερα στο χώρο διακρίνουμε:
- τα σημεία (χωρίς καμία διάσταση),
- τις γραμμές (με μία διάσταση) και
- τις επιφάνειες (με δύο διαστάσεις).
Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή απο το περιβάλλον.
Σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν.
Στην καθημερινή γλώσσα αναφερόμαστε σε
- «γραμμές της ασφάλτου»
- ή «σιδηροδρομικές γραμμές»,
- ή «ακτοπλοϊκές γραμμές»
λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό σημείο.
Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε «πρωταρχικούς όρους» και άλλοτε «γεωμετρικές προτάσεις».
Γεωμετρικές Έννοιες
- Πρωταρχικές έννοιες στη Γεωμετρία είναι το σημείο, η ευθεία, η γραμμή, το επίπεδο, η επιφάνεια και βεβαίως ο Χώρος.
- Η Γεωμετρία θεμελιώνεται σε κάποιες προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθινές, και αυτές είναι:
- το αξίωμα,
- το αίτημα,
- το θεώρημα,
- το λήμμα και
- το πόρισμα.
Βοηθητικές αυτών θεωρούνται
Κάθε πρόταση περιέχει την υπόθεση και το συμπέρασμα, που καταλήγουμε με τη βοήθεια της απόδειξης.
- Η «υπόθεση» και το «συμπέρασμα» λέγονται συνθήκες της πρότασης.
Στη Γεωμετρία δύο προτάσεις λέγονται:
- αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.
- αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης, και τέλος
- αντιστροφοαντίθετες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.
- Αν δύο προτάσεις σχετίζονται με μία από τις τρεις προηγούμενες σχέσεις τότε η μία καλείται ευθεία πρόταση και η άλλη «αντίστροφη» ή «αντίθετη» ή «αντιστροφοαντίθετη», αντίστοιχα.
- Δύο αντίστροφες προτάσεις λέγονται και ισοδύναμες όπου η κάθε μια εξ αυτών ονομάζεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την άλλη.
Κατά την εξέταση των γεωγραφικών σχημάτων η Γεωμετρία διακρίνεται στην Επιπεδομετρία και στη Στερεομετρία.
Ιστορικά η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος τεχνικός κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε στο πέρασμα των αιώνων σε επιστήμη, αλλά και για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.
Βασικά στοιχεία
Η μελέτη της Γεωμετρίας, όπως και κάθε αξιωματικής θεωρίας, ξεκινά από πρωταρχικές έννοιες, οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά και τις οποίες γίνονται δεκτές χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις.
Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του ανήκειν, αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από «σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία» ή για «κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα» κ.λ.π.
Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα αξιώματα, δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία.
Χαρακτηριστικά αναφέρονται (αναλυτικότερα) τα Αξιώματα Hilbert.
Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα αποδεικνύοντας όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας· κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα. Η αποδεικτική μέθοδος είναι κατά βάση κατασκευαστική και συνίσταται στη χρήση κανόνα και διαβήτη.
Σημεία που ανήκουν στην ίδια ευθεία λέμε ότι είναι συνευθειακά. Κάθε σημείο Α ευθείας ε χωρίζει την ε σε δύο ημιευθείες, τη μία αντικείμενη της άλλης. Το Α λέγεται αρχή κάθε ημιευθείας. Κάθε ευθεία ε επιπέδου p χωρίζει το p σε δύο αντικείμενα ημιεπίπεδα. Η ε λέγεται ακμή κάθε ημιεπιπέδου.
Ευκλείδεια Αξιώματα
Τα αξιώματα επί των οποίων στηρίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία ονομάζονται γεωμετρικά αξιώματα. Πρόκειται για προτάσεις που θεωρούνται παραδεκτές χωρίς όμως και να αποδεικνύονται.
Τα γεωμετρικά αξιώματα διακρίνονται σε τρεις βασικές κατηγορίες:
- Αξιώματα θέσης
- Αξιώματα ισότητας και
- Αξιώματα διάταξης
Αξιώματα θέσης
- Αξίωμα Ι: Μία ευθεία έχει τουλάχιστον δύο σημεία, ενώ υφίσταται τουλάχιστον ένα σημείο έξω από την ευθεία.
- Αξίωμα ΙΙ: Από δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.
- Αξίωμα ΙΙΙ: Μια ευθεία μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα και από τα δύο μέρη, που ορίζουν τα δύο σημεία της. (Συνεπώς η ευθεία δεν έχει ούτε αρχή, ούτε τέλος).
- Αξίωμα IV: Ένα επίπεδο έχει τρία τουλάχιστον σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και ένα σημείο εκτός.
- Αξίωμα V: Από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ένα μόνο επίπεδο διέρχεται.
- Αξίωμα VI: Η ευθεία που ενώνει δύο σημεία επιπέδου είναι ευθεία του επιπέδου.
- Αξίωμα VII: Ένα επίπεδο μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα και τέλος
- Αξίωμα VIII: Κάθε γεωμετρικό σχήμα χωρίς να μεταβληθεί μπορεί να αλλάξει θέση στο γεωμετρικό χώρο.
Αξιώματα ισότητας
Δύο γεωμετρικά σχήματα ονομάζονται ίσα όταν τοποθετούμενα το ένα επί του άλλου εφαρμόζουν ακριβώς σε όλα τα μέρη τους.
- Αξίωμα Ι: Ένα σχήμα είναι πάντοτε ίδιο με τον εαυτό του (ανακλαστική ιδιότητα).
- Αξίωμα ΙΙ: Όταν ένα σχήμα είναι ίσο με άλλο, τότε και το δεύτερο είναι ίσο με το πρώτο (συμμετρική).
- Αξίωμα ΙΙΙ: Όταν δύο σχήματα είναι ίσα με ένα τρίτο, είναι και μεταξύ τους ίσα (μεταβατική ιδιότητα).
- Αξίωμα IV: Δύο σχήματα είναι αδύνατον να είναι ταυτόχρονα ίσα και άνισα.
Αξιώματα διάταξης
Τρία σημεία, έστω: Α, Β και Γ που βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία (ε) λέμε ότι αποτελούν στην ευθεία την "διάταξη Α, Β, Γ" ή ότι τα τρία σημεία αυτά είναι διαδοχικά σημεία πάνω στην ευθεία. Τότε το σημείο Β λέγεται και ενδιάμεσο των Α και Γ.
- Αξίωμα Ι: Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία σε μιά ευθεία τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που είναι ενδιάμεσο των Α και Β στην ίδια ευθεία (ε)
- Αξίωμα ΙΙ: Αν Α και Β είναι επίσης δύο διαφορετικά σημεία σε μια ευθεία τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που ανήκει στην ευθεία (ε) σε θέση τέτοια που το Β να είναι ενδιάμεσο των σημείων Α και Γ.
- Αξίωμα ΙΙΙ: Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία μιας ευθείας τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Γ που ανήκει στην ευθεία (ε) σε θέση τέτοια που το Α πλέον να είναι ενδιάμεσο των σημείων Β και Γ.
Γεωμετρικά Προβλήματα
Στην αρχαιότητα ήταν γνωστά τρία γεωμετρικά προβλήματα, που προσπαθούσαν να τα λύσουν με τη χρήση αδιαβάθμητου κανόνα και διαβήτη:
- Ο Διπλασιασμός Όγκου Κύβου (ή Δήλιο Πρόβλημα),
- η Τριχοτόμηση Γωνίας και
- ο Τετραγωνισμός Κύκλου.
Τα προβλήματα αυτά, όπως αποδείχθηκε αργότερα (Wantzel, 1837), δεν μπορούν να λυθούν μόνο με κανόνα και διαβήτη.
Σύμφωνα με τον Γάλλο μαθηματικό Galois (1811 - 1832), για να λυθεί ένα γεωμετρικό πρόβλημα αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη, θα πρέπει να ανάγεται σε λύση πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Τα δύο πρώτα προβλήματα απαιτούν την κατασκευή κυβικής ρίζας, ενώ για το τρίτο, απιτεί πλήρη γνώση των δεκαδικών του π . Όμως το π είναι Υπερβατικός Αριθμός (Θεώρημα Lindemann - Weierstrass, 1882), που σημαίνει, ότι δεν αποτελεί λύση Πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.
Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, όταν είδαν, ότι οι προσπάθειές τους δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός τού κύκλου και κατασκεύασαν και βοηθητικά όργανα (πέραν τού κανόνα και τού διαβήτη) για τη σχεδίαση αυτών των καμπύλων.
Ιστορική Καταγραφή
Ευκλείδεια Αιτήματα:
- 1. Ἠιτήσθω ἀπό παντός σηµείου ἐπί πᾶν σηµεῖον εὐθεῖαν γραµµήν ἀγαγεῖν.
- 2. Καί πεπερασµένην εὐθεῖαν κατά τό συνεχές ἐν εὐθείας ἐκβαλεῖν.
- 3. Καί παντί κέντρῳ καί διαστήµατι κύκλον γράφεται.
- 4. Καί πάσας τάς ὀρθάς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
- 5. Καί ἐάν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐµπίπτουσα τά ἐντός καί ἐπί τά αὐτά µέρη γωνίας δύο ορθῶν ἐλλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλοµένας τάς δύο εὐθείας ἐπ’ ἂπειρον συµπίπτειν ἐφ’ ἃ µέρη εἰσίν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλλάσσονες
Υποσημειώσεις
Εσωτερική Αρθρογραφία
Βιβλιογραφία
Ιστογραφία
 Κίνδυνοι Χρήσης
|
|---|
|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)