Εφαπτόμενον Διάνυσμα

Tangent Vector


Εφαπτόμενο Διάνυσμα


Εφαπτόμενο Διάνυσμα


Εφαπτόμενο Διάνυσμα


Εφαπτόμενο Διάνυσμα


Εφαπτομενικός Χώρος

- Ένα είδος διανύσματος


Η ονομασία "Εφαπτόμενο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "εφαπτομένη".


In mathematics, a tangent vector is a vector that is tangent to a curve or surface at a given point.

Tangent vectors are described in the differential geometry of curves in the context of curves in Rn.

More generally, tangent vectors are elements of a tangent space of a differentiable manifold.

Tangent vectors can also be described in terms of germs.

In other words, a tangent vector at the point x is a linear derivation of the algebra defined by the set of germs at x.

Motivation Edit

Before proceeding to a general definition of the tangent vector, we discuss its use in calculus and its tensor properties.

Calculus Edit

Let \mathbf{r}(t) be a parametric smooth curve. The tangent vector is given by \mathbf{r}^\prime(t), where we have used the a prime instead of the usual dot to indicate differentiation with respect to parameter t.[1] The unit tangent vector is given by


Example Edit

Given the curve

\mathbf{r}(t)=\{(1+t^2,e^{2t},\cos{t})|\ t\in\mathbb{R}\}

in \mathbb{R}^3, the unit tangent vector at time t=0 is given by


Contravariance Edit

If \mathbf{r}(t) is given parametrically in the n-dimensional coordinate system xi (here we have used superscripts as an index instead of the usual subscript) by \mathbf{r}(t)=(x^1(t),x^2(t),\ldots,x^n(t)) or

\mathbf{r}=x^i=x^i(t),\quad a\leq t\leq b\,,

then the tangent vector field \mathbf{T}=T^i is given by


Under a change of coordinates

u^i=u^i(x^1,x^2,\ldots,x^n),\quad 1\leq i\leq n

the tangent vector \bar{\mathbf{T}}=\bar{T}^i in the ui-coordinate system is given by

\bar{T}^i=\frac{du^i}{dt}=\frac{\partial u^i}{\partial x^s}\frac{dx^s}{dt}=T^s\frac{\partial u^i}{\partial x^s}

where we have used the Einstein summation convention.

Therefore, a tangent vector of a smooth curve will transform as a contravariant tensor of order one under a change of coordinates.[2]

Definition Edit

Let f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} be a differentiable function and let \mathbf{v} be a vector in \mathbb{R}^n. We define the directional derivative in the \mathbf{v} direction at a point \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n by

D_\mathbf{v}f(\mathbf{x})=\left.\frac{d}{dt}f(\mathbf{x}+t\mathbf{v})\right|_{t=0}=\sum_{i=1}^{n}v_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})\,.

The tangent vector at the point \mathbf{x} may then be defined[3] as

\mathbf{v}(f(\mathbf{x}))\equiv D_\mathbf{v}(f(\mathbf{x}))\,.

Properties Edit

Let f,g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} be differentiable functions, let \mathbf{v},\mathbf{w} be tangent vectors in \mathbb{R}^n at \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, and let a,b\in\mathbb{R}. Then

  1. (a\mathbf{v}+b\mathbf{w})(f)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{w}(f)
  2. \mathbf{v}(af+bg)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{v}(g)
  3. \mathbf{v}(fg)=f(\mathbf{x})\mathbf{v}(g)+g(\mathbf{x})\mathbf{v}(f)\,.

Tangent vector on manifoldsEdit

Let M be a differentiable manifold and let A(M) be the algebra of real-valued differentiable functions M.

Then the tangent vector to M at a point x in the manifold is given by the derivation D_v:A(M)\rightarrow\mathbb{R} which shall be linear — i.e., for any f,g\in A(M) and a,b\in\mathbb{R} we have


Note that the derivation will by definition have the Leibniz property

D_v(f\cdot g)=D_v(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_v(g)\,.


  1. J. Stewart (2001)
  2. D. Kay (1988)
  3. A. Gray (1993)

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit


  • Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press .
  • Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole .
  • Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill .


Ikl Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν


>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

Ad blocker interference detected!

Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.