Εφαπτόμενο Διάνυσμα

Εφαπτόμενον Διάνυσμα

Tangent Vector

Εφαπτόμενο Διάνυσμα

Εφαπτόμενο Διάνυσμα

Εφαπτόμενο Διάνυσμα

Εφαπτόμενο Διάνυσμα

Εφαπτομενικός Χώρος

Εφαπτόμενο Επίπεδο

Εφαπτόμενη Δέσμη

- Ένα είδος διανύσματος

Ετυμολογία

Η ονομασία "Εφαπτόμενο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "εφαπτομένη".

Εισαγωγή

In mathematics, a tangent vector is a vector that is tangent to a curve or surface at a given point.

Tangent vectors are described in the differential geometry of curves in the context of curves in Rⁿ.

More generally, tangent vectors are elements of a tangent space of a differentiable manifold.

Tangent vectors can also be described in terms of germs.

In other words, a tangent vector at the point $x$ is a linear derivation of the algebra defined by the set of germs at $x$.

Motivation

Before proceeding to a general definition of the tangent vector, we discuss its use in calculus and its tensor properties.

Calculus

Let $\mathbf{r}(t)$ be a parametric smooth curve. The tangent vector is given by $\mathbf{r}^\prime(t)$, where we have used the a prime instead of the usual dot to indicate differentiation with respect to parameter t. The unit tangent vector is given by

$\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}^\prime(t)}{|\mathbf{r}^\prime(t)|}\,.$

Example

Given the curve

$\mathbf{r}(t)=\{(1+t^2,e^{2t},\cos{t})|\ t\in\mathbb{R}\}$

in $\mathbb R^{3}$, the unit tangent vector at time $t=0$ is given by

$\mathbf{T}(0)=\frac{\mathbf{r}^\prime(0)}{|\mathbf{r}^\prime(0)|}=\left.\frac{(2t,2e^{2t},\sin{t})}{\sqrt{4t^2+4e^{4t}+\sin^2{t}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.$

Contravariance

If $\mathbf{r}(t)$ is given parametrically in the n-dimensional coordinate system xⁱ (here we have used superscripts as an index instead of the usual subscript) by $\mathbf{r}(t)=(x^1(t),x^2(t),\ldots,x^n(t))$ or

$\mathbf{r}=x^i=x^i(t),\quad a\leq t\leq b\,,$

then the tangent vector field $\mathbf{T}=T^i$ is given by

$T^i=\frac{dx^i}{dt}\,.$

Under a change of coordinates

$u^i=u^i(x^1,x^2,\ldots,x^n),\quad 1\leq i\leq n$

the tangent vector $\bar{\mathbf{T}}=\bar{T}^i$ in the uⁱ-coordinate system is given by

$\bar{T}^i=\frac{du^i}{dt}=\frac{\partial u^i}{\partial x^s}\frac{dx^s}{dt}=T^s\frac{\partial u^i}{\partial x^s}$

where we have used the Einstein summation convention.

Therefore, a tangent vector of a smooth curve will transform as a contravariant tensor of order one under a change of coordinates.

Κατευθυνόμενη Παράγωγος

Let $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ be a differentiable function and let $\mathbf{v}$ be a vector in $\R^n$. We define the directional derivative in the $\mathbf{v}$ direction at a point $\mathbf x \in \mathbb R^n$ by

$D_\mathbf{v}f(\mathbf{x})=\left.\frac{d}{dt}f(\mathbf{x}+t\mathbf{v})\right|_{t=0}=\sum_{i=1}^{n}v_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})\,.$

The tangent vector at the point $\mathbf{x}$ may then be defined as

$\mathbf{v}(f(\mathbf{x}))\equiv D_\mathbf{v}(f(\mathbf{x}))\,.$

Properties

Let $f,g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ be differentiable functions, let $\mathbf{v},\mathbf{w}$ be tangent vectors in $\R^n$ at $\mathbf x \in \mathbb R^n$, and let $a,b\in \mathbb{R}$.

Then

1. $(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})(f)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{w}(f)$
2. $\mathbf{v}(af+bg)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{v}(g)$
3. $\mathbf{v}(fg)=f(\mathbf{x})\mathbf{v}(g)+g(\mathbf{x})\mathbf{v}(f)\,.$

Tangent vector on manifolds

Let $M$ be a differentiable manifold and let $A(M)$ be the algebra of real-valued differentiable functions $M$.

Then the tangent vector to $M$ at a point $x$ in the manifold is given by the derivation $D_v:A(M)\rightarrow\mathbb{R}$ which shall be linear — i.e., for any $f,g\in A(M)$ and $a,b\in \mathbb{R}$ we have

$D_v(af+bg)=aD_v(f)+bD_v(g)\,.$

Note that the derivation will by definition have the Leibniz property

$D_v(f\cdot g)=D_v(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_v(g)\,.$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Διάνυσμα
• Διανυσματικός Χώρος
• Εφαπτομενικός Χώρος
• εφάπτωση

Βιβλιογραφία

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press .
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole .
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill .

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• manifolds-and-curvature
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---