Fandom

Science Wiki

Θεώρημα Ehrenfest

63.282pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Θεώρημα Ehrenfest

Ehrenfest Theorem


Laws-Science-01-goog.jpg

Επιστημονικός Νόμος Επιστημονικοί Νόμοι
Μαθηματικό Θεώρημα Νόμοι Μαθηματικών
Φυσικός Νόμος Νόμοι Φυσικής
Νόμοι Χημείας
Νόμοι Γεωλογίας
Νόμοι Βιολογίας
Νόμοι Οικονομίας

Physics-Atom-01-goog.jpg

Φυσική
Φυσικοί Γης Νόμοι Φυσικής Νόμοι Φυσικής Θεωρίες Φυσικής Πειράματα Φυσικής Παράδοξα ΦυσικήςΠροβλήματα Φυσικής

- Ένας Νόμος της Φυσικής.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "νόμος" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[]]".

ΕισαγωγήEdit

Σύμφωνα με το Θεώρημα του Ehrenfest, οι μέσες τιμές των φυσικών μεγεθών μιας κβαντομηχανικής κατάστασης ακολουθούν τους κλασσικούς νόμους της κίνησης.

Ειδικά αναφέρονται δύο εξισώσεις:

m\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \langle p\rangle,\;\; \frac{d}{dt}\langle p\rangle =  -\left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle  ~

Γενικά, μαθηματική του έκφραση είναι η εξής:

\frac{d}{dt} \langle A \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle
where A is some QM operator and
\langle A\rangle is its expectation value.

Μερικές συνέπειές του είναι:

\frac{d}{dt} \langle x \rangle = \langle v \rangle = \frac{\langle p \rangle }{m}


και

\frac{d}{dt}\langle p \rangle = - \left \langle \frac{ \partial V(x)} {\partial t} \right \rangle = \langle F(x)\rangle

Απόδειξη Edit

Η μέση τιμή ενός μεγέθους Â σε ένα σύστημα με Χαμιλτονιανή Ĥ και κυματοσυνάρτηση Ψ ισούται με:

\left\langle \hat{A}\right\rangle=\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\Psi dV, όπου dV ο στοιχειώδης όγκος.

Έχουμε λοιπόν:

\frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\Psi dV=\int_{V_{\infty}}\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\hat{A}\Psi dV+\int_{V_{\infty}}\Psi^*\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\Psi dV+\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\frac{\partial\Psi}{\partial t} dV

Από την εξίσωση Schrodinger έχουμε ότι:

i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi \Leftrightarrow \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\hat{H}\Psi

Επίσης παίρνοντας την συζυγή σχέση έχουμε:

\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=-\frac{1}{i\hbar}\Psi^*\hat{H}^*=-\frac{1}{i\hbar}\Psi^*\hat{H} (η σχέση αυτή γίνεται πιο προφανής με τον συμβολισμό του Dirac), όπου χρησιμοποιήθηκε η αυτοσυζυγία της Χαμιλτονιανής, δηλαδή το ότι \hat{H}^*=\hat{H}

Επίσης είναι προφανές ότι:

\int_{V_{\infty}}\Psi^*\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\Psi dV=\left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle

Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχουμε:

\begin{align}
 & \frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=-\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{H}\hat{A}\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\hat{A}\hat{H}\Psi dV=\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\left(\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}\right)\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle= \\
 & =\frac{1}{i\hbar}\int_{V_{\infty}}\Psi^*\left[\hat{A},\hat{H}\right]\Psi dV + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\left\langle\left[\hat{A},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle  
 \end{align}

Και καταλήγουμε στην:

\frac{\partial \langle \hat{A}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar} \left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right] \right\rangle +\left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle

ο.έ.δ.

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki