## FANDOM

64.463 Pages

Θεώρημα των Gelfond-Schneider

- Θεώρημα των Μαθηματικών.

## ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Θεώρημα" σχετίζεται ετυμολογικά με το όνομα του μαθηματικού "[[]]".

## ΠεριγραφήEdit

In mathematics, the Gelfond–Schneider theorem establishes the transcendence of a large class of numbers. It was originally proved independently in 1934 by Aleksandr Gelfond and Theodor Schneider. The Gelfond–Schneider theorem answers affirmatively Hilbert's seventh problem.

## StatementEdit

If α and β are algebraic numbers with α ≠ 0,1 and if β is not a rational number, then any value of αβ = exp(β log α) is a transcendental number.

• The values of α and β are not restricted to real numbers; complex numbers are allowed (and never rational, even if both the real and imaginary parts are rational).
• In general, αβ = exp(β log α) is multivalued, where "log" stands for the complex logarithm. This accounts for the phrase "any value of" in the theorem's statement.
• An equivalent formulation of the theorem is the following: if α and γ are nonzero algebraic numbers, and we take any non-zero logarithm of α, then (log γ)/(log α) is either rational or transcendental. This may be expressed as saying that if log α, log γ are linearly independent over the rationals, then they are linearly independent over the algebraic numbers. The generalisation of this statement to several logarithms of algebraic numbers is in the domain of transcendence theory.
• If the restriction that α and β be algebraic is removed, the statement does not remain true in general. For example,
${\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2.$
Here, α is √2√2 which (as proved by the theorem itself) is transcedental rather than algebraic. Similarly, if α = 3 and β = (log 2)/(log 3), which is transcendental, then αβ = 2 is algebraic. A characterization of the values for α and β which yield a transcendental αβ is not known.

## CorollariesEdit

The transcendence of the following numbers follows immediately from the theorem:

• The numbers $2^{\sqrt{2}}$ (the Gelfond–Schneider constant) and its square root $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}.$
• The number $e^{\pi} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = (-1)^{-i} = 23.14069263 \ldots$ (Gelfond's constant), as well as $i^i = \left( e^{i \pi / 2} \right)^i = e^{-\pi / 2} = 0.207879576 \ldots.$

## ΙστογραφίαEdit

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)