Fandom

Science Wiki

Καμπυλότητα \Μέγεθος

63.284pages on
this wiki
Add New Page
Talk2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Καμπυλότης

Curvature


Curvature-04-goog.jpg

Καμπυλότητα

Curvature-02-goog.jpg

Καμπυλότητα

Curvature-03-goog.gif

Καμπυλότητα Επιπεδότητα

Curvature-05-goog.jpg

Καμπυλότητα

Curvature-01-goog.gif

Καμπυλότητα

- Ένα Γεωμετρικό Μέγεθος.

Ποσότητα που ορίζεται σε κάθε σημείο οποιασδήποτε επιφάνειας και χαρακτηρίζει την τάση της μετρικής να αυξάνει (θετική), να παραμένει σταθερή (μηδενική) ή να μειώνεται [αρνητική] καθώς απομακρυνόμαστε από τη γραμμή βάσεως.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία " Καμπυλότητα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "καμπύλη ".

ΕισαγωγήEdit

Εκφράζει την παρέκκλιση (deviation) μίας καμπύλης ή μίας επιφάνειας ή ενός χώρου από την επιπεδότητα (flatness).

ΤαξινόμησηEdit

  • Εξωτερική Καμπυλότητα
  • Εσωτερική Καμπυλότητα

Εξωτερική ΚαμπυλότηταEdit

Η εξωτερική καμπυλότητα μίας επιφάνειας (ή καμπύλης) δεν είναι ανιχνεύσιμη από παρατηρητή που βρίσκεται (αλλιώς, "κατοικεί") σε αυτήν.

Περιπτώσεις:

  • Καμπυλότητα Fresnel (Fresnel curvature and torsion) καμπυλών του τρισδιάστατου χώρου,
  • Μέση Καμπυλότητα (mean curvature)

Εσωτερική ΚαμπυλότηταEdit

Η εσωτερική καμπυλότητα μίας επιφάνειας (ή καμπύλης) είναι ανιχνεύσιμη και απο εξωτερικό παρατηρητή αλλά και από παρατηρητή που βρίσκεται (αλλιώς, "κατοικεί") σε αυτήν.

Περιπτώσεις:

  • Καμπυλότητα Gauss (Gaussian curvature ).
  • Καμπυλότητες Riemann

Εξωτερική καμπυλότητα επίπεδης καμπύληςEdit

  • Η καμπυλότητα του κύκλου (κ) είναι ίση με το αντίστροφο της ακτίνας (r) του.
  • H καμπυλότητα της επίπεδης καμπύλης (δηλ. που είναι εμβαπτισμένη σε Ευκλείδειο δισδιάστατο χώρο) είναι βαθμωτό μέγεθος.
  • H καμπυλότητα της καμπύλης που είναι εμβαπτισμένη σε τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο είναι διανυσματικό μέγεθος.
  • H καμπυλότητα της καμπύλης που είναι εμβαπτισμένη σε τρισδιάστατο χώρο είναι τανυστικό μέγεθος.

Εμπειρική καμπυλότηταEdit

Η εμπειρική έννοια της καμπυλότητας δεν συμφωνεί ακριβώς με την αυστηρή γεωμετρική έννοια.

π.χ. Σύμφωνα με την ορολογία του Gauss, που χρησιμοποιείται στην Κοσμολογία, ένας μονοδιάστατος Χώρος (μια γραμμή) έχει μηδενική καμπυλότητα ανεξαρτήτως σχήματος. (Η καμπυλότητα Gauss είναι εσωτερική καμπυλότητα).

Επίσης, και η κυλινδρική επιφάνεια, σύμφωνα πάντοτε με τον Gauss, εμφανίζει μηδενική καμπυλότητα.

Καμπύλοι ΧώροιEdit

Σύμφωνα με τον Gauss, καμπύλος είναι ο χώρος εκείνος στον οποίο δεν ισχύουν τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Ιδιαίτερα εφόσον αναιρεθεί η ισχύς του 5ο αξιώματος τότε οι γεωμετρίες που δημιουργούνται διαφέρουν από την Ευκλείδεια. Τέτοιες γεωμετρίες λέγονται μη Ευκλείδειες. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφερθεί ότι στους καμπύλους χώρους η έννοια της "ευθείας γραμμής" έχει αντικατασταθεί από την έννοια της "γεωδαισιακής γραμμής".

Γεωδαισιακή ΓραμμήEdit

Γεωδαισιακή Γραμμή είναι εκείνη η γραμμή, επάνω στην επιφάνεια που ενώνει δύο σημεία της, που έχει το ελάχιστο δυνατόν μήκος. Το γνωστότερο παράδειγμα γεωδαισιακής, είναι ένας μέγιστος κύκλος στην επιφάνεια μιας σφαίρας.

Εσωτερική ΚαμπυλότηταEdit

Αν κοιτάξουμε μια επιφάνεια (όπως π.χ ένα κύλινδρο ή μια σφαίρα) ευρισκόμενοι έξω από αυτήν είναι προφανές αν αυτή είναι καμπύλη ή όχι.

Υποθέστε, όμως, ότι είστε ένα ον των 2 διαστάσεων που κατοικεί επάνω στην επιφάνεια. Δεν μπορείτε να βγείτε έξω απ' αυτήν, αλλά προκειμένου να ελέγξετε αν ισχύει η Ευκλείδεια Γεωμετρία ή όχι, μπορείτε να κάνετε πειράματα Γεωμετρίας με γεωδαισιακές γραμμές και να ελέγξετε αν ισχύουν τα πορίσματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Όταν λοιπόν, ο Gauss αναφέρεται καμπυλότητα ενός χώρου, εννοεί ένα γεωμετρικό μέγεθος μετρούμενο απο παρατηρτή που βρίσκεται μέσα στον μελετούμενο χώρο (δηλ. εννοεί την εσωτερική καμπυλότητα).

Κυλινδρική ΕπιφάνειαEdit

Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ότι μια κυλινδρική επιφάνεια δεν είναι πια καμπύλη, αφού οι γεωδαισιακές γραμμές της δεν παραβιάζουν τα αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ως γνωστόν οι γεωδαισιακές του κυλίνδρου δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι ευθείες γραμμές που χαράσσονται στο επίπεδο φύλλο χαρτιού το οποίο τυλίγεται περί άξονα για να κατασκευασθεί ο κύλινδρος. Οι γωνίες τους παραμένουν οι ίδιες και τίποτα απολύτως δεν αλλάζει όταν μεταφερόμαστε από τον επίπεδο χάρτη στον κυλινδρικό.

(Το γεγονός, βέβαια, ότι αν ξεκινήσουμε από ένα σημείο και ακολουθώντας μια γεωδαισιακή γύρω από τον κύλινδρο επιστρέφουμε πάλι στο αρχικό σημείο, δεν οφείλεται σε παραβίαση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αλλά σε αλλαγή της τοπολογίας που είναι κάτι τελείως διαφορετικό).

Καμπύλες ΕπιφάνειεςEdit

Κάθε λεία επιφάνεια, αν την εξετάσουμε τοπικά, δηλαδή σε μια μικροσκοπική περιοχή ακολουθεί με πολύ καλή προσέγγιση την Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Όσο όμως πηγαίνουμε σε μεγαλύτερη και μεγαλύτερη έκτασή της όλο και περισσότερο διαπιστώνουμε αποκλίσεις από την Ευκλείδεια Γεωμετρία, αν η επιφάνειά μας έχει καμπυλότητα.

Για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν είναι πλέον 180 μοίρες , και η περίμετρος ενός κύκλου δεν είναι πλέον ίση με 2πr, όπου r η ακτίνα του. Κάτι τέτοιο όμως δεν συμβαίνει με τον κύλινδρο, ο οποίος εξακολουθεί να υπακούει στην Ευκλείδεια Γεωμετρία σε κάθε κλίμακα μεγέθους. Αν λοιπόν ο κύλινδρος δεν παρουσιάζει καμπυλότητα, με ποιό τρόπο μπορούμε να δημιουργήσουμε μια καμπύλη επιφάνεια που να ικανοποιεί τα κριτήρια του Gauss;

Πολύ απλά. Αν χύσουμε λίγο καφέ σε ένα φύλλο χαρτιού και το εκθέσουμε στο Ηλιακό Φως να στεγνώσει, την επόμενη το χαρτί θα έχει παραμορφωθεί. Την παραμορφωμένη επιφάνεια του χαρτιού δεν μπορούμε με κανένα τρόπο να της επαναπροσδώσουμε το επίπεδο σχήμα της. Τι συνέβη όμως πραγματικά στο πείραμα αυτό;

Όταν ο καφές απορροφήθηκε από το χαρτί και στη συνέχεια στέγνωσε, άλλαξαν οι αποστάσεις μεταξύ των γειτονικών ινών του χαρτιού. Παίρνουμε έτσι μια περιοχή που είναι αρκετά μεγάλη για να χωρέσει μέσα στο περίγραμμά της και να παραμείνει επίπεδη ώστε να ισχύει η Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Στον εξωτερικό τρισδιάστατο παρατηρητή η στρέβλωση της επιφάνειας εμφανίζεται ως ένα εξόγκωμα του χαρτιού, αλλά το ουσιαστικό γεγονός είναι ότι το πλέγμα των αποστάσεων μεταξύ γειτονικών ινών δεν υπακούει πλέον στους κανόνες της επίπεδης (flat) Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Φαντασθείτε τώρα ότι το διδιάστατο επίπεδό είναι τώρα τελείως αφηρημένο. Το πλέγμα των αποστάσεων μεταξύ γειτονικών σημείων δεν υπακούει πλέον στην Ευκλείδεια Γεωμετρία και έχει παραμορφωθεί, ακριβώς όπως οι ίνες του χαρτιού. Χωρίς να χρειάζεται όμως να φαντασθούμε κάποια εξογκώματα όπως είχαμε στην περίπτωση του χαρτιού.

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki