Fandom

Science Wiki

Κύκλος

63.273pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Κύκλος

Circle


Circle-Center-Circumference-01-goog.gif

Κύκλος Κέντρο Περιφέρεια

Circle-01-goog.png

Γεωμετρία Κύκλος
Ακτίνα Διάμετρος Χορδή Κυκλικός Τομέας Κυκλικός Δίσκος Επίκεντρος Γωνία Τόξο Κύκλου Ακτίνιο

Circle-02-goog.png

Κύκλος Κυκλικός Τομέας

Circle-03-goog.png

Κύκλος Ακτίνα Διάμετρος

Numbers-Pi-01-goog.jpg

Αριθμός π

Trigonometric-Circle-01-goog.jpg

Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικός Κύκλος

- Ένα επίπεδο Γεωμετρικό Σχήμα.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Κύκλος" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη [[]]

ΠεριγραφήEdit

Κύκλος ή περιφέρεια με κέντρο Κ και ακτίνα ρ, είναι το Γεωμετρικό Σχήμα που απαρτίζεται από τα σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από το Κ απόσταση ρ.

Συμβολίζουμε C(Κ,ρ).

Εναλλακτικά, ο κύκλος ορίζεται ως ο Γεωμετρικός Τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο.

Κάθε σημείο Μ του επιπέδου του κύκλου C(Κ,ρ) για το οποίο ισχύει ΜΚ < ρ, λέγεται εσωτερικό σημείο του κύκλου. Αντίστοιχα κάθε σημείο Ν του επιπέδου για το οποίο ΝΚ > ρ λέγεται εξωτερικό σημείο του κύκλου. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του κύκλου ονομάζεται εσωτερικό του κύκλου και ο κύκλος μαζί με το εσωτερικό του λέγεται κυκλικός δίσκος. Στο σχήμα 2 το εξωτερικό του κύκλου δηλώνεται με το ελαφρό γκρίζο ενώ το εσωτερικό με το έντονο γκρίζο.

Ένα Ευθύγραμμο Τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου λέγεται χορδή του κύκλου. Όταν αυτή περιέχει το κέντρο του, λέγεται διάμετρος και τα άκρα της χαρακτηρίζονται αντιδιαμετρικά.

Κατά τον Ευκλείδη (Στοιχεία, βιβλίο πρώτο), " Κύκλος εστί σχήμα επίπεδον υπό μιάς γραμμής περιεχόμενον [ή καλείται περιφέρεια], πρός ήν αφ'ενός σημείου τών εντός τού σχήματος κειμένων πάσαι αι προσπίπτουσαι ευθείαι [πρός τήν τού κύκλου περιφέρειαν] ίσαι αλλήλαις εισίν. Κέντρον δέ τού κύκλου το σημείον καλείται. Διάμετρος δέ του κύκλου εστίν ευθεία τις διά τού κέντρου ηγμένη και περατουμένη εφ' εκάτερα τά μέρη υπό τής τού κύκλου περιφερείας, ήτις καί δίχα τέμνει τόν κύκλον".

Τόξο ΚύκλουEdit

Τόξο ΑΒ είναι το τμήμα ενός κύκλου που αποτελείται από τα σημεία του Α και Β και όλα τα ενδιάμεσά τους. Κάθε ζεύγος σημείων πάνω σε κύκλο ορίζει δύο τόξα. Αν η χορδή ΑΒ είναι διάμετρος τότε τα τόξα αυτά λέγονται ημικύκλια. Στην αντίθετη περίπτωση το ένα τόξο λέγεται μείζον και το άλλο έλασσον· μείζον είναι το τόξο που ανήκει στο ίδιο ημιεπίπεδο της χορδής με το κέντρο του κύκλου.

Επίκεντρη ΓωνίαEdit

Arc-Length-01-goog.png

Τόξο Καμπύλης
Καμπύλη
Ακτίνιο
Επίκεντρη Γωνία

Μία γωνία λέγεται επίκεντρη όταν η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου. Κάθε γωνία μπορούμε να την καταστήσουμε επίκεντρη θεωρώντας έναν κύκλο (αυθαίρετης ακτίνας) γύρω από την κορυφή της. Το αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας ΑΚΒ λέγεται έλασσον τόξο ΑΒ. Χρησιμοποιούνται συχνά οι ορολογίες

  • η γωνία ΑΚΒ βαίνει στο τόξο ΑΒ, και
  • το τόξο ΑΒ φαίνεται υπό γωνία ΑΚΒ.

Κυκλικός ΤομέαςEdit

Κυκλικός τομέας λέγεται κάθε γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία ενός κυκλικού δίσκου και μίας επίκεντρης γωνίας του.

Θεώρημα ΑντιστοιχίαςEdit

Σε έναν κύκλο, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα. Αντίστροφα, σε ένα κύκλο ίσα τόξα φαίνονται υπό ίσες επίκεντρες γωνίες.

Απόδειξη ευθέος θεωρήματος: Ας είναι C(Κ,ρ) ένας κύκλος και ΑΚΒ, ΓΚΔ ίσες επίκεντρες γωνίες που βαίνουν αντίστοιχα στα τόξα ΑΒ και ΓΔ. Μετατοπίζουμε τη γωνία ΓΚΔ έτσι ώστε η ημιευθεία ΚΔ να ταυτιστεί με την ημιευθεία ΚΒ. Τότε η ημιευθεία ΚΓ θα ταυτιστεί με την ημιευθεία ΚΑ από την ισότητα των γωνιών και τα σημεία Γ και Δ θα ταυτιστούν με τα σημεία Α και Β αντίστοιχα επειδή ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ = ΚΔ = ρ (ισότητα ευθύγραμμων τμημάτων).

Επίσης, κάθε σημείο του τόξου ΓΔ συμπίπτει κατά τη μετατόπισή του με ένα σημείο του τόξου ΑΒ: αν υπήρχε σημείο του τόξου ΓΔ που δεν θα ανήκε στο τόξο ΑΒ, τότε θα έπρεπε να είναι είτε εξωτερικό είτε εσωτερικό σημείο του κύκλου, που είναι σε κάθε περίπτωση αδύνατο αφού είναι σημείο τόξου του κύκλου (απαγωγή σε άτοπο)· συνεπώς τα τόξα είναι ίσα.

Απόδειξη αντίστροφου θεωρήματος: Ας είναι C(Κ,ρ) ένας κύκλος και ΑΒ, ΓΔ ίσα τόξα που φαίνονται αντίστοιχα υπό τις επίκεντρες γωνίες ΑΚΒ και ΓΚΔ. Μετατοπίζουμε το τόξο ΓΔ έτσι ώστε να ταυτιστεί με το τόξο ΑΒ. Τότε η πλευρά γωνίας ΚΓ ταυτίζεται με την ΚΑ και η ΚΔ ταυτίζεται με την ΚΑ και έτσι οι γωνίες είναι ίσες.

Σύγκριση ΤόξωνEdit

  • Σε έναν κύκλο, θα λέμε ότι ένα τόξο είναι μεγαλύτερο ή ίσο ή μικρότερο από ένα άλλο όταν η επίκεντρη γωνία του πρώτου είναι μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την επίκεντρη γωνία του άλλου.
  • Μέσο ενός τόξου ΑΒ είναι ένα σημείο Μ στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε τα τόξα ΑΜ και ΜΒ να είναι ίσα. Κάθε τόξο έχει ένα μόνο μέσο.

Απόδειξη: Αν Μ είναι το μέσο ενός τόξου ΑΒ, τότε θα είναι ΑΜ = ΜΒ (ισότητα τόξων). Για τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες θα ισχύει ΑΚΜ = ΜΚΒ (ισότητα γωνιών), που σημαίνει ότι η ημιευθεία ΚΜ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΑΚΒ. Η διχοτόμος μίας γωνίας όμως είναι από αξίωμα μοναδική, συνεπώς το Μ θα είναι και αυτό μοναδικό.

  • Οι πράξεις στα τόξα (προσθαφαίρεση τόξου με τόξο και πολλαπλασιασμός - διαίρεση τόξου με αριθμό) ορίζονται με βάση τις επίκεντρες γωνίες όπου αντιστοιχούν. Σε κάθε περίπτωση, το τόξο-αποτέλεσμα της πράξης είναι το τόξο που αντιστοιχεί στην επίκεντρη γωνία-αποτέλεσμα της αντίστοιχης πράξης.
  • Λέγοντας μέτρηση ενός τόξου ΑΒ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα μοναδιαίο τόξο ΚΛ του ίδιου κύκλου. Αν ισχύει ΑΒ = μ/ν ΚΛ, τότε λέμε ότι το μήκος του τόξου ΑΒ ως προς το τόξο ΚΛ είναι μ/ν. Συνηθισμένη μονάδα μέτρησης εδώ είναι το τόξο που ισούται με το ένα τριακοσιοστό εξηκοστό του κύκλου. Το μήκος του μοναδιαίου αυτού τόξου λέμε ότι ισούται με μία μοίρα και συμβολίζουμε 1°.
  • Επειδή, σύμφωνα με το θεώρημα αντιστοιχίας, ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες, μπορούμε να αναγάγουμε τη μέτρηση των γωνιών στη μέτρηση των τόξων. Έτσι όταν λέμε άνοιγμα γωνίας μπορούμε εναλλακτικά να εννοούμε το μήκος του αντίστοιχου τόξου της, αν αυτή θεωρηθεί ως επίκεντρη. Στη μέτρηση σε μοίρες λοιπόν, το άνοιγμα της μοναδιαίας γωνίας θα ισούται με 1°, της πλήρους γωνίας με 360°, της ευθείας γωνίας με 180°, και της ορθής με 90°.

Άλλες ιδιότητεςEdit

  • Σε ίσα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντίστροφα.

Απόδειξη ευθέος θεωρήματος: Ας είναι C(Ο,ρ) ένας κύκλος και ΑΒ, ΓΔ δύο ίσα τόξα σε αυτόν. Θεωρούμε τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ και τις χορδές ΑΒ και ΓΔ. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα. Συνεπώς θα είναι και ΑΒ = ΓΔ.

Απόδειξη αντίστροφου θεωρήματος: Θεωρούμε δύο ίσες χορδές ΑΒ, ΓΔ σε κύκλο C(Ο,ρ). Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ που σχηματίζονται είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Συνεπώς ΑΟΒ = ΓΟΔ (ισότητα γωνιών) από όπου ΑΒ = ΓΔ (ισότητα τόξων).

  • Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μία χορδή του, διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο.

Απόδειξη: Ας είναι C(Ο,ρ) κύκλος και ΑΒ μία χορδή του. Αν ΟΜ είναι το απόστημα της ΑΒ τότε τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΟΜΑ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και υποτείνουσα ίση. Έτσι ΜΑ = ΜΒ, άρα το Μ θα είναι μέσο της ΑΒ και ΜΟΑ = ΜΟΒ (ισότητα γωνιών), δηλαδή ΝΑ = ΝΒ (ισότητα τόξων) και το Ν είναι το μέσο του τόξου ΑΒ.

  • Δύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη ευθέος θεωρήματος: Ας είναι ΑΒ και ΓΔ ίσες χορδές σε κύκλο C(Ο,ρ). Φέρνουμε τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ και τις ακτίνες ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ΟΚ και ΟΛ θα είναι ίσες.

Απόδειξη αντίστροφου θεωρήματος: Έστω ΑΒ και ΓΔ χορδές σε κύκλο C(Ο,ρ) με ίσα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΑ και ΟΓ. Τα τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και ΑΚ = ΓΛ, δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.

  • Από την τριγωνική ανισότητα, κάθε χορδή σε κύκλο είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.
  • Εάν C είναι η περίμετρος του κύκλου, τότε:
C = 2\pi\,\rho\,

όπου \pi\,\approx 3,14.

  • Η διάμετρος \delta\, του κύκλου:
\delta\, = 2\rho\,
  • Το εμβαδόν του κύκλου δίνεται από τον τύπο:
A = \pi\,\rho\,^2
  • Ο κύκλος είναι το σχήμα του επιπέδου με το μεγαλύτερο εμβαδόν για δεδομένη περίμετρο.

Αναλυτική γεωμετρία του κύκλουEdit

Ο κύκλος εκφράζεται σε Καρτεσιανές συντεταγμένες ως:

(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = \rho\,^2

Το σημείο \,(x_0, y_0) είναι το κέντρο του κύκλου με ακτίνα \rho\,.

Οι "παραμετρικές εξισώσεις" του κύκλου είναι:

x=x_0 +\rho \cos t,\quad y=y_0+ \rho \sin t,

με παράμετρο το t,\;0\leq t<2\pi.

Η εξίσωση ενός κύκλου σε πολικές συντεταγμένες με κέντρο το \,(r_0, \phi_0) είναι:

r^2-2r\,r_0\cos(\phi-\phi_0)+r_0^2=\rho^2.

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki