Fandom

Science Wiki

Λογισμός Μεταβολών

63.273pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Λογισμός Μεταβολών

Variational Calculus


Κλάδος των Μαθηματικών

ΟρισμόςEdit

Variational-Analysis-02-goog.png

Συναρτησιοειδής Μεταβολή
α) Η "ερυθρή" καμπύλη y(x) είναι η ενεργειακά "άριστη".
β) Οι "πράσινες" καμπύλες y είναι "εφικτές" μεν αλλά "μη άριστες"
γ) Η "κυανή" καμπύλη είναι μία αυθαίρετη "καμπύλη αναφοράς"
(δεν αποτελεί διαδρομή του συστήματος)

Ο Λογισµός Μεταβολών ασχολείται, γενικά, µε την βελτιστοποίηση µεταβλητών ποσοτήτων, που ονοµάζονται συναρτησοειδή, επί ορισµένων αποδεκτών κλάσεων αντικειµένων. Πολλές από τις µεθόδους που αναπτύχθηκαν εδώ και περισσότερα από διακόσια έτη από τον Euler, τον Lagrange και άλλους.

Ο λογισµός των µεταβολών συνεχίζει µέχρι και σήµερα να συνεισφέρει σηµαντικές τεχνικές σε πολλούς κλάδους των επιστηµών της Μηχανικής και της Φυσικής, και πολλές σηµαντικές µεθόδους στην Εφαρμοσμένη Ανάλυση.

Ο Λογισµός Μεταβολών περιορίζεται κυρίως σε συναρτησοειδή που ορίζονται µέσω ολοκληρωµάτων, και προσδιορίζει ικανές και αναγκαίες συνθηκές για ακρότατα.

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης ή µεγιστοποίησης ενός συναρτησοειδούς J επί του συνόλου A λέγεται µεταβολικό πρόβλημα.

ΑνάλυσηEdit

Από τα βασικά θέματα του Διαφορικού Λογισμού είναι η εύρεση ακροτάτων (δηλ. μέγιστων και ελάχιστων) τιμών μιας συνάρτησης.

Θα αναλύσουμε το ζήτημα δίνοντας βάση στην φυσική του ερμηνεία.

Κάθε Φυσικό Σύστημα χαρακτηρίζεται από ορισμένες ιδιότητες. Η σημαντικότερη ιδιότητα ενός φυσικού συστήματος είναι η εξέλιξή του.

Θεωρούμε, καταρχάς, ότι το σύστημα:

- εκκινεί από την θέση (ή κατάσταση) "a" και
- καταλήγει στην θέση (ή κατάσταση) "b"

Στην συνέχεια θεωρούμε ότι η εξέλιξη ενός φυσικού συστήματος εκφράζεται φυσικά από το φυσικό μέγεθος δράση. Η δράση εκφράζεται μαθηματικά από ένα συναρτησιοειδές (\mathcal{I}):

\mathcal{I}:X\rightarrow\mathbb{R} \qquad {(1)}
όπου X το πεδίο ορισμού του συναρτησιοειδούς. Το πεδίο ορισμού X αποτελείται από καμπύλες x_\epsilon \in X.

Η εξέλιξη ενός συστήματος προϋποθέτει, προφανώς, την ύπαρξη δυνατών "πορειών εξέλιξης". Ως δυνατές χαρακτηρίζονται οι "πορείες εξέλιξης" που διέρχονται από τις θέσεις "a" και "b". Θεωρούμε ότι οι "πορείες εξέλιξης" ενός φυσικού συστήματος εκφράζονται μαθηματικά από ένα σύνολο καμπυλών x_\epsilon:

x_\epsilon:[t_a,t_b]\rightarrow\mathbb{R}^3 \qquad {(2)}
όπου:
\mathbb{R}^3 είναι ο Χώρος μέσα στον οποίο υπάρχει το φυσικό σύστημα και
[t_a,t_b] \subset \mathbb{R} ένα χρονικό διάστημα, υποσύνολο του Χρόνου, μέσα στον οποίο εξελίσσεται το φυσικό σύστημα.

Όμως, έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι τα φυσικά συστήματα δεν ακολουθούν τυχαίες "πορείες εξέλιξης". Ακολουθούν την "άριστη" εξελικτική πορεία δηλ. την οικονομικότερη.

x_\epsilon(t) = x(t) + \epsilon h(t) \qquad {(3)}

Γεωμετρικά, οι καμπύλες αυτές είναι μέλη μιας παραμετρικής οικογένειας καμπυλών.

Η \epsilon είναι η παράμετρος της οικογένειας.

Η δράση υπακούει σε έναν πολύ βασικό Συμπαντικό Νόμο. Τον Νόμο Οικονομίας της Φύσης. Αυτός εκφράζεται μαθηματικά με την συνθήκη το συναρτησιοειδές (\mathcal{I}) έχει να έχει ελάχιστο. Τώρα, το συναρτησιοειδές (\mathcal{I}) μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση της παραμέτρου \epsilon. Οπότε λαμβάνει ακρότατη τιμή όταν η παράμετρος \epsilon μηδενίζεται:


\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}\mathcal{I}(x_\epsilon)\right|_{\epsilon=0} = 0  \qquad {(4)}

Αναπτύσουμε την Λαγρασιανή

 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))

σε σειρά MacLaurin:


Gegeben seien zwei Zeitpunkte t_a,t_e\in\mathbb{R} mit t_e>t_a und eine in allen Argumenten zweifach stetig differenzierbare Funktion, die Lagrangefunktion

\mathcal{L}:(t_a,t_e)\times G\rightarrow\mathbb{R}\ ,\quad G \subset \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\ ,\quad G\text{  offen}\,.

Beispielsweise ist bei der Lagrangefunktion des freien relativistischen Teilchens mit Masse m und c = 1

\mathcal{L}(t,x,v)= - m \sqrt{1-v^2}

das Gebiet G das kartesische Produkt von \mathbb{R}^3 und dem Inneren der Einheitskugel.

Als Funktionenraum X wird die Menge aller zweifach stetig differenzierbaren Funktionen

x:[t_a,t_e]\rightarrow\mathbb{R}^n

gewählt, die zum Anfangszeitpunkt t_a und zum Endzeitpunkt t_e die fest vorgegebenen Orte x_a bzw. x_e einnehmen:

x(t_a)=x_a \ ,\quad x(t_e)=x_e

und deren Werte zusammen mit den Werten ihrer Ableitung in G liegen,

\forall t\in [t_a,t_e]:\ (x(t),\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)) \in G .

Mit der Lagrangefunktion \mathcal{L} wird nun das Funktional I:X\rightarrow\mathbb{R}, die Wirkung, durch

I(x) := \int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t))\,\mathrm{d}t

definiert. Gesucht ist diejenige Funktion x\in X, die die Wirkung I minimiert.

Entsprechend der im vorhergehenden Abschnitt vorgestellten Technik untersuchen wir dazu alle differenzierbaren einparametrigen Familien (x_\alpha)_{\alpha\in(-\epsilon,\epsilon)}\subset X, die für \alpha=0 durch die stationäre Funktion x des Funktionals gehen (es gilt also x_0=x). Genutzt wird die im letzten Abschnitt hergeleitete Gleichung

 0=\left.\frac{d}{d\alpha} I(x_\alpha)\right|_{\alpha=0}
=\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} \int_{t_a}^{t_e} \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0}

Hereinziehen der Differentiation nach dem Parameter \alpha in das Integral liefert mit der Kettenregel


0=\left[\int_{t_a}^{t_b}\left(\partial_2 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha x_\alpha(t)
+
\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha\dot x_\alpha(t)
\right)\,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0}

\ =\left[\int_{t_a}^{t_e}\partial_2 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha x_\alpha(t)\,\mathrm{d}t
+
\int_{t_a}^{t_b}\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha\dot x_\alpha(t)
\,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0}.

Dabei stehen \partial_2,\partial_3 für die Ableitungen nach dem zweiten bzw. dritten Argument und \partial_\alpha für die partielle Ableitung nach dem Parameter \alpha.

Es wird sich später als günstig erweisen, wenn im zweiten Integral statt \partial_\alpha \dot x_\alpha(t) wie im ersten Integral \partial_\alpha x_\alpha(t) steht. Das erreicht man durch partielle Integration:


0=\left[\int_{t_a}^{t_e}\partial_2 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\,\partial_\alpha x_\alpha(t)\,\mathrm{d}t
+
\left[\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\,\partial_\alpha x_\alpha(t)\right]_{t=t_a}^{t_e}\right .
 -
\left .\int_{t_a}^{t_e}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\right)\,\partial_\alpha x_\alpha(t)
\,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0}

An den Stellen t=t_a und t=t_e gelten unabhängig von \alpha die Bedingungen x_\alpha(t_a)=x_a und x_\alpha(t_e)=x_e. Ableiten dieser beiden Konstanten nach \alpha liefert \partial_\alpha x_\alpha(t_a) = \partial_\alpha x_\alpha(t_e) =0. Deshalb verschwindet der Term \left[\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha x_\alpha(t)\right]_{t=t_a}^{t_e} und man erhält nach Zusammenfassen der Integrale und Ausklammern von \partial_\alpha x_\alpha die Gleichung


0=\left[\int_{t_a}^{t_e}\left(\partial_2 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))
-
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\right)\,\partial_\alpha x_\alpha(t)
\,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0}.

und mit x_\alpha(t)|_{\alpha=0} = x(t)


0=\int_{t_a}^{t_e}\left(\partial_2 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t))
-
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\partial_3 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t))\right)\left[\partial_\alpha x_\alpha(t)\right]_{\alpha=0}
\,\mathrm{d}t.

Außer zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt unterliegt x_\alpha(t) keinen Einschränkungen. Damit sind die Zeitfunktionen t\mapsto\left[\partial_\alpha x_\alpha(t)\right]_{\alpha=0} bis auf die Bedingungen \partial_\alpha x_\alpha(t_a) = \partial_\alpha x_\alpha(t_e) =0 beliebige zweimal stetig differenzierbare Zeitfunktionen. Die letzte Gleichung kann also nur dann für alle zulässigen \left[\partial_\alpha x_\alpha\right]_{\alpha=0} erfüllt sein, wenn der Faktor \partial_2 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t))
-
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\partial_3 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t)) im gesamten Integrationsintervall gleich null ist (das wird in den Bemerkungen etwas detaillierter erläutert). Damit erhält man für die stationäre Funktion x die Euler-Lagrange-Gleichung


\partial_2 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t))
-
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\partial_3 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t)) = 0,

die für alle t\in(t_a,t_e) erfüllt sein muss.

Die angegebene, zum Verschwinden zu bringende Größe bezeichnet man auch als Eulerableitung der Lagrangefunktion \mathcal{L}\,,

\frac{\hat{\partial}\mathcal{L}}{\hat{\partial}x}(t)
:=\left.\frac{\partial \mathcal{L}(t,x,\dot x)}{\partial x}\right|_{(t,x(t),\dot x(t))}
-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left(\left.\frac{\partial \mathcal{L}(t,x,\dot x)}{\partial \dot x}\right|_{(t,x(t),\dot x(t))}\right)
\,.

Vor allem in Physikbüchern wird die Ableitung \left.\partial_{\alpha}\right|_{\alpha=0} als Variation bezeichnet. Dann ist \delta x = \left.\partial_\alpha x_\alpha\right|_{\alpha=0} die Variation von x\,. Die Variation der Wirkung

\delta I(x,\delta x) = \int\mathrm d t\,\frac{\delta I}{\delta x(t)}\delta x(t)

ist wie bei \mathrm d f= \sum_i (\partial_i f)\mathrm d x^i eine Linearform in den Variationen der Argumente, ihre Koeffizienten \frac{\delta I}{\delta x(t)} heißen Variationsableitung des Funktionals I\,. Sie ist im betrachteten Fall die Eulerableitung der Lagrangefunktion

\frac{\delta I}{\delta x(t)}=
\frac{\hat{\partial}\mathcal{L}}{\hat{\partial}x}(t)\,.

Die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung ist lediglich eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für eine Extremale. Weitere notwendige Bedingungen stammen von A. Legendre und A. Clebsch sowie von C.G. Jacobi. Eine hinreichende aber nicht notwendige Bedingung lieferte K. Weierstraß.

The Euler–Lagrange equationEdit

Under ideal conditions, the maxima and minima of a given function may be located by finding the points where its derivative vanishes (i.e., is equal to zero). By analogy, solutions of smooth variational problems may be obtained by solving the associated Euler–Lagrange equation.

Consider the functional:

 A[f] = \int_{x_1}^{x_2}  L(x,f,f')\, dx . \,

The function f should have at least one derivative in order to satisfy the requirements for valid application of the function; further, if the functional A[f] attains its local minimum at f_0 and \eta(x) is an arbitrary function that has at least one derivative and vanishes at the endpoints  x_1 and  x_2, then we must have

A[f_0] \le A[f_0 + \epsilon \eta]

for any number ε close to 0. Therefore, the derivative of A[f_0 + \epsilon \eta] with respect to ε (the first variation of A) must vanish at ε = 0.


Θέματα - ΤομείςEdit

Πρώτη μεταβολή συναρτησιοειδούςEdit

In applied mathematics and the calculus of variations, the first variation of a functional J(y) is defined as the linear functional

 \delta J(y)

mapping the function h to

\delta J(y)(h) = \lim_{\varepsilon\to 0} \frac{J(y + \varepsilon h)-J(y)}{\varepsilon} = \left.\frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\right|_{\varepsilon = 0},
where y and h are functions,
and ε is a scalar.

Παράδειγμα:

Compute the first variation of

J(y)=\int_a^b yy' dx.

From the definition above,


\delta J(y)(h)=\left.\frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\right|_{\varepsilon = 0}
 = \left.\frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (y + \varepsilon h)(y^\prime + \varepsilon h^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}

= \left.\frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}

= \left.\int_a^b \frac{d}{d\varepsilon} (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}

= \left.\int_a^b (yh^\prime + y^\prime h + 2\varepsilon hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}

= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h) \ dx

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki