Fandom

Science Wiki

Μαθηματική Μήτρα

63.285pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Μήτρα

Matrix, πίνακας


Matrices-01-goog.png

Γραμμική Άλγεβρα Μαθηματική Μήτρα
Μηδενική Μήτρα Μοναδιαία Μήτρα Διαγώνια Μήτρα Τριγωνική Μήτρα Τριδιαγώνια Μήτρα Συζυγής Μήτρα Ανάστροφη Μήτρα Συμμετρική Μήτρα Αντισυμμετρική Μήτρα Προσαρτημένη Μήτρα Ερμιτιανή Μήτρα Ανθερμιτιανή Μήτρα Κανονική Μήτρα Αντίστροφη Μήτρα Μοναδιακή Μήτρα Ορθογώνια Μήτρα
Ίχνος Μήτρας Ορίζουσα Μήτρας
Μητραϊκή Πρόσθεση Μητραϊκός Πολλαπλασιασμός Μητραϊκή Σύνθεση Μητραϊκή Αναπαράσταση

Matrices-10-goog.png

Μαθηματική Μήτρα Μιγαδική Συζυγής Μήτρα Ανάστροφη Μήτρα Ερμιτιανή Μήτρα

- Ένα Μαθηματικό Μέγεθος.

ΕτυμολογίαEdit

MathsMatrix-wik.png

Οργάνωση μήτρας, Row = σειρά, column = στήλη

Η ονομασία "Μήτρα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "μήτηρ".

ΕισαγωγήEdit

Μήτρα είναι ένας πίνακας (array) αποτελούμενος από αριθμούς.

Ακριβέστερα, είναι μία δισδιάστατη διάταξη αριθμών που τα στοιχεία της αποτελούν τις συνιστώσες ενός τελεστή ως προς μία βάση.

Ο πίνακας καθορίζεται από δύο δείκτες.

  • Ο πρώτος δείκτης καθορίζει τη σειρά και
  • ο δεύτερος δείκτης καθορίζει την στήλη πάνω στην οποία τοποθετούνται οι αριθμοί.

Οι μήτρες εισήχθηκαν για να αναπαραστήσουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Σε κάθε στήλη εμφανίζονται συντελεστές της ίδιας μεταβλητής. Για παράδειγμα, η εξίσωση x2 + 3x - 2 = 0 γράφεται ως μια σειρά με συντελεστές τους αριθμούς 1, 3 και -2.

ΕφαρμογέςEdit

Οι μήτρες εφαρμόζονται σχεδόν σε όλα τα πεδία της Επιστήμης και της Τεχνολογίας.

Στην Οικονομία οι μήτρες input-output, τις οποίες εισήγαγε ο νομπελίστας οικονομολόγος Βασίλι Λεόντιεφ, χρησιμοποιήθηκαν για να υπολογίζονται μεταβλητές όπως το ΑΕΠ, Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν μιας χώρας.

ΠαράδειγμαEdit

Η μήτρα

A = a_{ij} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} 
\end{bmatrix}  

or   A = a_{ij} = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 0 & 5
\end{bmatrix}

είναι μία 4\times 3 μήτρα. Το στοιχείο της a_{23} ή A[2,3] είναι ο αριθμός 7.

Επίσης η μήτρα

 B = b_{1j} = 
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \qquad \qquad (1)

είναι μία 1\times 9 μήτρα, ή αλλιώς ένα 9-στηλο σειραϊκό "διάνυσμα".

Μία μήτρα 9x9 γράφεται:

A = a_{ij} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} & a_{17} & a_{18} & a_{19}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} & a_{27} & a_{28} & a_{29}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36} & a_{37} & a_{38} & a_{39}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46} & a_{47} & a_{48} & a_{49}\\
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56} & a_{57} & a_{58} & a_{59}\\
a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66} & a_{67} & a_{68} & a_{69}\\
a_{71} & a_{72} & a_{73} & a_{74} & a_{75} & a_{76} & a_{77} & a_{78} & a_{79}\\
a_{81} & a_{82} & a_{83} & a_{84} & a_{85} & a_{86} & a_{87} & a_{88} & a_{89}\\
a_{91} & a_{92} & a_{93} & a_{94} & a_{95} & a_{96} & a_{97} & a_{98} & a_{99}
\end{bmatrix}  

Μία μήτρα 10x10 γράφεται:

A = a_{ij} = \begin{bmatrix}
a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} & a_{04} & a_{05} & a_{06} & a_{07} & a_{08} & a_{09} \\
a_{01} & a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} & a_{17} & a_{18} & a_{19}\\
a_{02} & a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} & a_{27} & a_{28} & a_{29}\\
a_{03} & a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36} & a_{37} & a_{38} & a_{39}\\
a_{04} & a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46} & a_{47} & a_{48} & a_{49}\\
a_{05} & a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56} & a_{57} & a_{58} & a_{59}\\
a_{06} & a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66} & a_{67} & a_{68} & a_{69}\\
a_{07} & a_{71} & a_{72} & a_{73} & a_{74} & a_{75} & a_{76} & a_{77} & a_{78} & a_{79}\\
a_{08} & a_{81} & a_{82} & a_{83} & a_{84} & a_{85} & a_{86} & a_{87} & a_{88} & a_{89}\\
a_{09} & a_{91} & a_{92} & a_{93} & a_{94} & a_{95} & a_{96} & a_{97} & a_{98} & a_{99}
\end{bmatrix}  

Είδη ΜητρώνEdit

Οι πίνακες με ίσο αριθμό γραμμών και στηλών λέγονται τετραγωνικοί πίνακες.

Ισότητα ΜητρώνEdit

Δύο μήτρες είναι ίσες αν τα στοιχεία τους είναι ένα προς ένα ίσα, δηλ.

(α)=(b) αν και μόνο αν αij = bij για κάθε i,j

Πράξεις μητρώνEdit

Οι πράξεις μεταξύ μητρών μπορούν να προκύψουν εύκολα από τις ιδιότητες των τελεστών τους οποίους αναπαριστούν οι μήτρες.

Στα παρακάτω, το σύμβολο (α)ij = αij θα συμβολίζει το στοιχείο του πίνακα (α) που βρίσκεται στην i γραμμή και στην j στήλη.

Πρόσθεση ΜητρώνEdit

((α)+(b)) = αij + bij ,

Ιδιότητες:

  • (α)+(b) = (b)+(α) (αντιμεταθετική),
  • (α)+[(b)+(c)]=[(α) + (b)]+ (c) (προσεταιριστική)

Πολλαπλασιασμός μήτρας με αριθμόEdit

Προκύπτει ένας νέος πίνακας, με στοιχεία (λ(α))ij = λαij,

Ιδιότητες:

  • λ[(α) + (b)] = λ(α) + λ(b)
  • (λ + m)(α)= λ(α) + m(α)
  • (λm)(α) = λ(m(α)) (λ, m αριθμοί)

Πολλαπλασιασμός μήτρας με διάνυσμαEdit

Το αποτέλεσμα είναι ένα νέο διάνυσμα, με συνιστώσες [(α)x]i=∑j αij xj

Πολλαπλασιασμός μήτρας με μήτραEdit

Αν έχουμε δύο μήτρες (α) και (b), το γινόμενο (α)(b) υπάρχει μόνο αν ο αριθμός των στηλών του (α) ισούται με τον αριθμό των γραμμών του (b). Αν ο (α) είναι η μήτρα Ν×Μ και ο (b) πίνακας M×Κ, το γινόμενο (γ)=(α)(b) είναι πίνακας Ν×Κ, με στοιχεία

(γ)ij = ((α)(b))ij = ∑k αikbkj,

(δηλ. το ij στοιχείο του γινομένου είναι εσωτερικό γινόμενο της γραμμής i του (α) με τη στήλη j του (b)).

Ιδιότητες:

  • [(α) + (b)](c) = (α)(c) + (b)(c)
  • [(α)(b)](c) = (α)[(b)(c)]
  • (c)[(α) + (b)] = (c)(α) + (c)(b)
  • Προσοχή! δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλ. (α)(b)≠(b)(α)

ΤαξινομίαEdit

Matrices-Scalar-Vector-01-goog.gif

Συνιστώσες Διανύσματος

Matrices-Scalar-Vector-02-goog.jpg

Συνιστώσες Διανύσματος και τανυστή

Matrices-3D-01-goog.png

Συνιστώσες τανυστή 3x3

Matrices-3D-02-goog.jpg

Συνιστώσες τανυστή 3x3

Matrices-3D-03-goog.jpg

Συνιστώσες τανυστή 3x3

Παρακάτω αναφέρουμε μερικές ειδικές κατηγορίες μητρών, τις οποίες συναντάμε συχνά σε εφαρμογές.

Μηδενική Μήτρα (0) Edit

Αντιστοιχεί στον μηδενικό τελεστή. Είναι η μήτρα για την οποία ισχύει

  • (0)(α) = (α)(0) = (0) για κάθε (α).
  • Ένας μηδενικός πίνακας έχει όλα του τα στοιχεία του ίσα με μηδέν.

Μοναδιαία ΜήτραEdit

Μοναδιαία Μήτρα ή ταυτοτική μήτρα (Ε) είναι η μήτρα για την οποία ισχύει:

  • (ε)(α) = (α)(ε)= (α) για κάθε (α).
  • Αντιστοιχεί στον μοναδιαίο τελεστή.
  • Ο ταυτοτικός πίνακας έχει όλα του τα στοιχεία ίσα με μηδέν, εκτός από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου, τα οποία είναι μονάδα.

Διαγώνια Μήτρα Edit

Διαγώνιος λέγεται ένας πίνακας (δ) ο οποίος έχει όλα του τα στοιχεία ίσα με μηδέν, εκτός από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου, δηλαδή τα στοιχεία δij με i=j, π.χ.

Τριγωνική Μήτρα Edit

Άνω (κάτω) τριγωνικός λέγεται ένας πίνακας στον οποίο είναι μη μηδενικά μόνο τα στοιχεία πάνω (κάτω) από την κύρια διαγώνιο, καθώς και αυτά της κύριας διαγωνίου.

Τριδιαγώνια Μήτρα Edit

Τριδιαγώνιος λέγεται ο πίνακας στον οποίο είναι μη μηδενικά μόνο τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου και της διαγωνίου πάνω και κάτω από την κύρια.

αij≠0 αν i=j, j±1.

Συζυγής Μήτρα Edit

Συζυγής του πίνακα (α) λέγεται ο πίνακας που έχει στοιχεία του τα μιγαδικά συζυγή των στοιχείων του (α). Συμβολίζεται με (α*). Δηλ (α*)ij=(αij)*

  • Αν ο πίνακας (α) είναι πραγματικός, τότε (α*)=(α).

Ανάστροφη Μήτρα Edit

Ανάστροφος του πίνακα (α) λέγεται ο πίνακας που έχει ως γραμμές τις στήλες του (α) και ως στήλες τις γραμμές του (α). Θα τον συμβολίζουμε με (α)Τ.

Συμμετρική Μήτρα Edit

Αν ένας πίνακας ισούται με τον ανάστροφό του, τότε ο πίνακας λέγεται συμμετρικός.

Αν (α) συμμετρικός, τότε αij = αji.

Αντισυμμετρική Μήτρα Edit

Αν ένας πίνακας ισούται με το αντίθετο του ανάστροφού του, τότε ο πίνακας λέγεται αντισυμμετρικός.

Αν (α) αντισυμμετρικός, τότε αij = -αji.

Προσαρτημένη Μήτρα Edit

Ερμιτιανός συζυγής ή προσαρτημένος του πίνακα (α) λέγεται ο ανάστροφος του συζυγούς τού (α) (ή ο συζυγής του αναστρόφου του (α)). Θα τον συμβολίζουμε με (α)+. Δηλ. (α)+ =(α*)Τ.

Ερμητιανή Μήτρα Edit

Αν ένας πίνακας (α) ισούται με τον προσαρτημένο του τότε ο (α) λέγεται ερμιτιανός ή αυτοπροσαρτημένος πίνακας.

Για έναν αυτοπροσαρτημένο πίνακα (α) ισχύει αij = (αji)*.
  • Οι αυτοπροσαρτημένοι πίνακες αποτελούν μια από τις πιο χρήσιμες κατηγορίες πινάκων.

Ανθερμητιανή Μήτρα Edit

Αν ένας πίνακας (α) ισούται με το αντίθετο του προσαρτημένου του τότε ο (α) λέγεται ανθερμιτιανός πίνακας.

Αν (α) ανθερμητιανός τότε ισχύει αij = -(αji)*.

Κανονική Μήτρα Edit

Αν ένας πίνακας μετατίθεται με τον ερμιτιανό συζυγή του, δηλ. (α)(α)+=(α)+(α) ο πίνακας αυτός λέγεται κανονικός.

Αντίστροφη Μήτρα Edit

Αντίστροφος του πίνακα (α), αν υπάρχει, λέγεται ο πίνακας (α)-1, τέτοιος ώστε

(α) (α)-1 =(α)-1 (α)=(ε) (ο μοναδιαίος πίνακας).

Μοναδιακή Μήτρα Edit

Αν για έναν πίνακα (α) ο οποίος έχει αντίστροφο ισχύει (α)+=(α)-1, τότε ο (α) λέγεται μοναδιακός πίνακας. Πολλές φορές συμβολίζεται με (u) (από το unitary). Προσοχή: Να μην συγχέεται με τον μοναδιαίο!

Ορθογώνια Μήτρα Edit

Αν για έναν πίνακα (α) ο οποίος έχει αντίστροφο ισχύει (α)Τ = (α)-1, τότε ο (α) λέγεται ορθογώνιος πίνακας. Πολλές φορές συμβολίζεται με (O) (από το orthogonal).

  • Για πίνακες με πραγματικά στοιχεία, όπου (α)+ =(α)Τ, ο μοναδιακός και ο ορθογώνιος πίνακας ταυτίζονται.
  • Οι μοναδιακοί και οι ορθογώνιοι πίνακες αποτελούν από τις πιο χρήσιμες κατηγορίες πινάκων. Η ορίζουσά τους έχει μέτρο μονάδα, οι στήλες τους αποτελούν ορθοκανονικό σύστημα διανυσμάτων και όταν πολλαπλασιάσουν ένα διάνυσμα οδηγούν σε διάνυσμα με το ίδιο μήκος (μέτρο) με το αρχικό. Αποτελούν επίσης ειδικές κατηγορίες κανονικών πινάκων.

Ίχνος ΜήτραςEdit

Ίχνος πίνακα, (Tr) ( από το trace) ονομάζουμε το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα:

Tr(α)=∑iαii,

Για το ίχνος ισχύουν:

  • Tr((α)+(b))=Tr(α)+Tr(b)
  • Tr((α)(b))=Tr((b)(α)) (ακόμα και αν (α)(b)≠(b)(α)
  • Αξίζει να σημειωθεί επίσης ότι το ίχνος είναι χαρακτηριστικό του τελεστή τον οποίο εκπροσωπεί ο πίνακας και παραμένει το ίδιο για κάθε αναπαράσταση του τελεστή.

Ορίζουσα Μήτρας Edit

Ορίζουσα πίνακα είναι ένας αριθμός, ο οποίος υπολογίζεται από τα στοιχεία του πίνακα (με προσθέσεις και πολλαπλασιασμούς των στοιχείων αυτών).

Συμβολίζεται είτε με det(α) (από την αγγλική λέξη determinant = ορίζουσα)

  • Το ίχνος και η ορίζουσα είναι δύο χρήσιμοι αριθμοί, χαρακτηριστικοί κάθε πίνακα. Ορίζονται μόνο για τετραγωνικούς πίνακες

ΥπομήτραEdit

Υποπίνακας (cij) του πίνακα (α) ονομάζεται ο πίνακας που προκύπτει από τον (α) με απαλοιφή της γραμμής i και της στήλης j. Π.χ. ο (c11) του πιο πάνω πίνακα (α) είναι το στοιχείο α22 (πίνακας 1×1).

ΥποορίζουσαEdit

Οι ορίζουσες τέτοιων υποπινάκων του (α) ονομάζονται υποορίζουσες του πίνακα (α).

Αλγεβρικό Συμπλήρωμα ΥπομήτραςEdit

Αλγεβρικό συμπλήρωμα του υποπίνακα (cij) λέγεται ο αριθμός Δij=(-1)i+j det(cij)

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki