Fandom

Science Wiki

Μαθηματικός Τελεστής

63.291pages on
this wiki
Add New Page
Talk2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Τελεστής

Operator, Logical connective


Numbers-03-goog.jpg

Διακριτά Μαθηματικά Αριθμητική Αριθμοθεωρία Αριθμός Τελεστής
Αλγεβρικές Πράξεις Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός Διαίρεση
Συνολοϊκές Πράξεις Συνολοϊκή Ένωση Συνολοϊκή Τομή
Λογικές Πράξεις Σύζευξη (Conjunction) Διάζευξη (Disjunction) Άρνηση (Negation)
Ιδιότητες Πράξεων Ανακλαστική Ιδιότητα Αντιμεταθετική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα

Computer-02-goog.jpg

Ηλεκτρονική Επεξεργασία.

- Ένα Μαθηματικό Μέγεθος

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Τελεστής" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "τέλεση".

ΟρισμόςEdit

Είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα άλλο (του ίδιου ή άλλου διανυσματικού χώρου).

ΕισαγωγήEdit

Έννοια του τελεστήEdit

Αποτελεί γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης που είναι η απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

Ουσιαστικά αυτό που κάνει ο τελεστής είναι να μετασχηματίζει (με κάποιο τρόπο) ένα διάνυσμα |x> σε ένα άλλο διάνυσμα |y>).

Ο τελεστής ορίζεται γενικά ως μία συνάρτηση που δρα πάνω σε κάποια άλλη συνάρτηση, μετασχηματίζοντάς την κατά έναν καθορισμένο τρόπο.

Μπορεί να θεωρηθεί γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης, καθώς οι συναρτήσεις δρουν συνήθως πάνω σε μεμονωμένα "αντικείμενα", ενώ ένας τελεστής μπορεί να δράσει στη "μορφή" μιας συνάρτησης ως σύνολο και να δώσει μια άλλη συνάρτηση.

Ένας τελεστής παριστάνεται συνήθως με ένα σύμβολο το οποίο τίθεται μπροστά από μια συνάρτηση (με τη γενική έννοια) και την αλλάζει σε κάποια άλλη συνάρτηση των ίδιων μεταβλητών. Οι τελεστές συμβολίζονται συνήθως με ένα κεφαλαίο γράμμα με το σύμβολο "^" πάνω του, π.χ.: \hat A.

Ένα παράδειγμα τελεστή είναι αυτός της παραγώγισης \hat D, ο οποίος για μονοδιάστατη συνάρτηση μεταβλητής x, έχει τη μορφή: \hat D = \frac{d}{dx}.

Γενικά μπορεί κανείς να ορίσει μέσω τελεστή οποιονδήποτε μετασχηματισμό. Για παράδειγμα, η "πράξη" της μετατόπισης του γραφήματος μιας συνάρτησης κατά 5 μονάδες προς τα δεξιά θα συμβολιζόταν ως \hat T f(x) = f(x-5), όπου \hat T ο τελεστής της συγκεκριμένης πράξης και f(x) τυχούσα συνάρτηση επί της οποίας δρα.

Ένας πληρέστερος ορισμός του τελεστή χρησιμοποιεί την έννοια του γραμμικού διανυσματικού χώρου: "Δοθέντων δύο γραμμικών διανυσματικών χώρων V_1 και V_2, καλούμε τελεστή ή μετασχηματισμό τη μονότιμη διανυσματική συνάρτηση, δηλαδή την απεικόνιση Α που δρα ως εξής:".

V_1 \supseteq D_A \ni \vec \psi \longrightarrow \vec \phi \in R_A \subseteq V_2

δηλαδή, σε κάθε διάνυσμα \vec \psi του υποσυνόλου D_A (πεδίο ορισμού) του χώρου V_1, η Α αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα διάνυσμα\vec \phi του υποσυνόλου R_A (πεδίο τιμών) του χώρου V_2.

Συμβολικά γράφουμε: \hat A \vec \psi = \vec \phi, όπου τα βέλη μπορούν να παραλείπονται χάριν απλότητας.

Η ίδια σχέση με το συμβολισμό του Dirac που χρησιμοποιείται ευρέως σε προβλήματα Κβαντικής Φυσικής γράφεται:

\hat A \mid\psi>\ = \mid\phi >\ .

(Ένα σύνολο συναρτήσεων, υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, μπορούν να θεωρηθούν διανύσματα που ανήκουν σε έναν αφηρημένο διανυσματικό χώρο με άπειρη διάσταση. Οι τιμές της συνάρτησης αντιστοιχούν τότε στις "συνιστώσες" του διανύσματος).

ΣημειώσειςEdit

Η χρήση της λέξης τελεστής στα μαθηματικά προϋποθέτει τη χρήση συναρτήσεων: ένας τελεστής μπορεί να ληφθεί ως μία ειδική συνάρτηση, που εφαρμόζεται σε κάποια άλλη συνάρτηση. Ένας τελεστής μπορεί να έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

  • Να υποστηρίζει υπερφόρτωση, κατά την οποία ο ίδιος τελεστής μπορεί να επιδρά σε αριθμούς, διανύσματα, μήτρες κ.ο.κ. με παρόμοια δράση.
  • Να αποτελεί γενικά μία Μερική Συνάρτηση, πράγμα που συνηθίζεται στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αφού δεν υπάρχει εξ αρχής εγγύηση για την ύπαρξη παραγώγων.
  • Να εφαρμόζεται τελεστής σε τελεστές.

Ένας τελεστής μπορεί να δρα πάνω σε περισσότερα από ένα αντικείμενα.

Για παράδειγμα, ο τελεστής της πρόσθεσης, "+", είναι ένας δυαδικός τελεστής καθόσον σε κάθε ζεύγος αντικειμένων (α,β) αντιστοιχεί ένα τρίτο αντικείμενο, το "α+β". Τα αντικείμενα μπορεί να είναι αριθμοί, μήτρες, διανύσματα, συναρτήσεις κ.ο.κ.

Ένα άλλο παράδειγμα δυαδικού τελεστή είναι η σύνθεση συναρτήσεων που συμβολίζεται με "\circ" και ορίζεται ως εξής: (f \circ g) (x) = f(g(x)). Οι δυαδικοί τελεστές κατά το συμβολισμό τοποθετούνται συνήθως ανάμεσα στα αντικείμενα στα οποία δρουν.

ΕφαρμογέςEdit

Οι τελεστές χρησιμοποιούνται σε επιστήμες όπως

Παραδείγματα τελεστώνEdit

α) Παράδειγμα πολύ απλού τελεστή είναι ο Τ = a, (όπου a πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός). Η δράση ενός αριθμητικού τελεστή πάνω σε ένα διάνυσμα αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό του διανύσματος με τον αριθμό a.

β) Άλλο παράδειγμα τελεστή είναι ο τελεστής στροφής, η δράση του οποίου πάνω σε ένα διάνυσμα προκαλεί τη στροφή του διανύσματος κατά ορισμένη γωνία.

γ) Άλλο παράδειγμα τελεστή (ο οποίος δρα σε διανυσματικό χώρο συναρτήσεων) είναι η παράγωγος d/dx. Η δράση του πάνω σε συνάρτηση είναι η παραγώγισή της.

Ορισμός (μαθηματικός)Edit

Ένας πιο πλήρης ορισμός του τελεστή χρησιμοποιεί την έννοια του γραμμικού διανυσματικού χώρου:

"Δοθέντων δύο γραμμικών διανυσματικών χώρων V_1 και V_2, καλούμε τελεστή ή μετασχηματισμό τη μονότιμη διανυσματική συνάρτηση, δηλαδή την απεικόνιση Α που δρα ως εξής:".

V_1 \supseteq D_A \ni \vec \psi \longrightarrow \vec \phi \in R_A \subseteq V_2

δηλαδή, σε κάθε διάνυσμα \vec \psi του υποσυνόλου D_A (πεδίο ορισμού) του χώρου V_1, η Α αντιστοιχίζει ένα και μόνο ένα διάνυσμα\vec \phi του υποσυνόλου R_A (πεδίο τιμών) του χώρου V_2.

Συμβολικά γράφουμε:

\hat A \vec \psi = \vec \phi,

όπου τα βέλη μπορούν να παραλείπονται χάριν απλότητας.

Η ίδια σχέση με το συμβολισμό του Dirac που χρησιμοποιείται ευρέως σε προβλήματα Κβαντομηχανικής γράφεται:

\hat A \mid\psi>\ = \mid\phi >\ .

(Ένα σύνολο συναρτήσεων, υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, μπορούν να θεωρηθούν διανύσματα που ανήκουν σε έναν αφηρημένο διανυσματικό χώρο με άπειρη διάσταση. Οι τιμές της συνάρτησης αντιστοιχούν τότε στις "συνιστώσες" του διανύσματος).

Γραμμικός ΤελεστήςEdit

Ένας τελεστής Τ λέγεται γραμμικός αν για οποιαδήποτε διανύσματα |x>, |y> του διανυσματικού χώρου στον οποίο δρα ο τελεστής, και για κάθε αριθμούς λ, m (πραγματικούς ή μιγαδικούς) ισχύει

Τ * (λ|x> + m|y>) = λ*(T|x>) + m * (T|y>)

Παράδειγμα: Η παράγωγος είναι γραμμικός τελεστής.

Αν Τ1, Τ2 γραμμικοί τελεστές, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1 + T2)|x> = T1 |x> + T2 |x>

(Τ * λ1) |x> = λ * (T1 |x>)

1 * T2) |x> = T1 * (T22 |x>)

Ειδικοί ΤελεστέςEdit

Σε κάθε διανυσματικό χώρο ορίζονται:

Τ = 0 ώστε 0|x> = 0, για κάθε |x>,

Τ = I ώστε Ι|x>=|x>, για κάθε |x>.

Τ-1 ώστε (Τ ∙ Τ-1) = (Τ-1 ∙ Τ)||x> = |x>.

Ο Τ-1 λέγεται αντίστροφος του τελεστή Τ.

(όχι για όλους, αλλά για μερικούς τελεστές Τ υπάρχει ο αντίστροφος τελεστής)

H γνώση ενός τελεστή απαιτεί να ξέρουμε το αποτέλεσμα της δράσης του πάνω σε οποιοδήποτε διάνυσμα του διανυσματικού χώρου. Στην περίπτωση της παραγώγου, αυτό είναι εύκολο. Συνήθως, όμως, σε μη-συναρτησιακούς διανυσματικούς χώρους δεν μπορούμε να έχουμε τους τελεστές σε τέτοια μορφή.

Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι εύκολο να δειχθεί ότι για να ξέρουμε τη δράση του τελεστή πάνω σε οποιοδήποτε διάνυσμα |x> αρκεί να ξέρουμε τη δράση του πάνω στα διανύσματα κάποιας βάσης του διανυσματικού χώρου

Λογικοί ΤελεστέςEdit

The basic logical operators are:

Some others are:

For example, the statements it is raining and I am indoors can be reformed using various different connectives to form sentences that relate the two in ways which augment their meaning:

  • It is raining and I am indoors.
  • If it is raining then I am indoors.
  • It is raining if I am indoors.
  • It is raining if and only if I am indoors.
  • It is not raining.

If we write 'P' for It is raining and 'Q' for I am indoors and we use the usual symbols for logical connectives, then the above examples could be represented in symbols, respectively:

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki