Fandom

Science Wiki

Μαθηματικό Θεώρημα

63.277pages on
this wiki
Add New Page
Talk2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Θεώρημα

Theorem


Theorems-01-goog.jpg

Μαθηματικά
Μαθηματικό Θεώρημα Μαθηματικά Θεωρήματα Μαθηματική Εικασία Μαθηματικές Εικασίες Εξίσωση Εξισώσεις Μαθηματικό Αξίωμα Μαθηματικά Αξιώματα
Νόμοι Φυσικής
Αριθμός Αριθμοί Μαθηματικός Χώρος Μαθηματικοί Χώροι

Equations-Maths-goog.jpg

Μαθηματικά Άλγεβρα Μαθηματική Ανάλυση
Μαθηματική Εξίσωση Εξισώσεις Μαθηματικές ΕξισώσειςΑλγεβρική Εξίσωση Αλγεβρικές Εξισώσεις Διαφορική Εξίσωση Διαφορικές Εξισώσεις
Φυσική Φυσικός Νόμος

Equation-01-goog.gif

Μαθηματικά Μαθηματική Ανάλυση Άλγεβρα
Εξίσωση Ανίσωση Εξισώσεις Μαθηματικές Εξισώσεις Αλγεβρική Εξίσωση Διαφορική Εξίσωση

- Μία δήλωση

- Είναι Μαθηματική Πρόταση που γίνεται δεκτή κατόπιν απόδειξης.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Θεώρημα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " θέαση".

ΕισαγωγήEdit

Στα Μαθηματικά το θεώρημα κατέχει αντίστοιχη θέση με αυτή που έχει ο Φυσικός Νόμος στην Φυσική.

Στα Μαθηματικά, ένα θεώρημα είναι μια πρόταση που αποδεικνύεται με βάση προηγουμένως αποδεκτές ή αποδεδειγμένες προτάσεις όπως τα αξιώματα.

Στην τυπική Μαθηματική Λογική, η έννοια θεώρημα μπορεί να ερμηνευθεί ως μια Μαθηματική Πρόταση που μπορεί να παραχθεί σύμφωνα με τους συμπερασματικούς κανόνες ενός συγκεκριμένου τυπικού συστήματος. Οι προτάσεις μιας θεωρίας όπως εκφράζονται σε μια Τυπική Γλώσσα ονομάζονται τα στοιχειώδη θεωρήματά της, και λέγεται ότι είναι αληθή.

Η βασική ιδιότητα των θεωρημάτων είναι ότι παράγονται χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από συμπερασματικούς κανόνες και αξιώματα χωρίς επιπλέον υποθέσεις. Αυτό δεν σχετίζεται με τη σημασιολογία της γλώσσας: η έκφραση που προκύπτει από μια παραγωγή είναι Συντακτική Συνέπεια όλων των εκφράσεων που προηγούνται.

Στα Μαθηματικά, η παραγωγή ενός θεωρήματος ερμηνεύεται συχνά ως απόδειξη της αλήθειας της έκφρασης που προκύπτει, αλλά διαφορετικά παραγωγικά συστήματα μπορούν να δώσουν άλλες ερμηνείες, ανάλογα με το νόημα των κανόνων παραγωγής.

Οι αποδείξεις των θεωρημάτων έχουν δυο μέρη, που λέγονται υποθέσεις και συμπεράσματα. Η απόδειξη ενός μαθηματικού θεωρήματος είναι ένα λογικό επιχείρημα που επιδεικνύει ότι τα συμπεράσματα είναι αναγκαία συνέπεια των υποθέσεων, με την έννοια ότι αν οι υποθέσεις είναι αληθείς, τότε και τα συμπεράσματα πρέπει επίσης να είναι αληθή, χωρίς περαιτέρω υποθέσεις. Η έννοια του θεωρήματος είναι επομένως θεμελιωδώς συμπερασματικά, σε αντίθεση με την έννοια μιας επιστημονικής θεωρίας, η οποία είναι εμπειρική.

Αν και μπορούν να γραφούν σε τελείως συμβολική μορφή με χρήση, για παράδειγμα, του προτασιακού λογισμού, τα θεωρήματα πιο συχνά γράφονται σε φυσική γλώσσα όπως π.χ. τα Ελληνικά ή τα Αγγλικά. Το ίδιο ισχύει και για τις αποδείξεις, που συχνά εκφράζονται ως λογικά οργανωμένα και καθαρά διατυπωμένα, άτυπα επιχειρήματα που σκοπό έχουν να δείξουν ότι μπορεί να κατασκευαστεί μια τυπική συμβολική απόδειξη. Τέτοια επιχειρήματα είναι τυπικά πιο εύκολα να ελεγχθούν από τα αμιγώς συμβολικά. Πράγματι, πολλοί μαθηματικοί θα εξέφραζαν προτίμηση για μια απόδειξη που όχι μόνο δείχνει την εγκυρότητα ενός θεωρήματος, αλλά επίσης εξηγεί με κάποιο τρόπο γιατί είναι προφανώς αλήθεια. Σε κάποιες περιπτώσεις μια εικόνα αρκεί για να αποδείξει ένα θεώρημα.

Λόγω του ότι τα θεωρήματα βρίσκονται στον πυρήνα των μαθηματικών, είναι επίσης κεντρικά και στην αισθητική τους. Θεωρήματα συχνά περιγράφονται ως προφανή, ή δύσκολα ή βαθιά, ή ακόμα και όμορφα. Οι υποκειμενικές αυτές κρίσεις ποικίλουν όχι μόνο από άτομο σε άτομο, αλλά επίσης και με το χρόνο. Για παράδειγμα, καθώς μια απόδειξη απλοποιείται ή κατανοείται καλύτερα, ένα θεώρημα που ήταν κάποτε δύσκολο μπορεί να γίνει προφανές. Από την άλλη, ένα βαθύ θεώρημα μπορεί να τεθεί με απλό τρόπο, αλλά η απόδειξή του μπορεί να εμπεριέχει εκπληκτικές και ευφυείς συνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων περιοχών των μαθηματικών. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι ένα πολύ γνωστό παράδειγμα ενός τέτοιου θεωρήματος.

Τυπικές και άτυπες έννοιες Edit

Στη λογική, τα περισσότερα θεωρήματα έχουν τη μορφή υποθετικών προσδιορισμών: αν Α, τότε Β. Ένα τέτοιο θεώρημα δεν ισχυρίζεται ότι το Β είναι πάντα αληθές, παρά μόνο ότι το Β θα πρέπει να ισχύει αν και το Α είναι αληθές. Σ' αυτή την περίπτωση το Α λέγεται η υπόθεση του θεωρήματος (εδώ η υπόθεση είναι τελείως διαφορετική από μια εικασία) και Β το συμπέρασμα. Το θεώρημα «Αν n είναι άρτιος φυσικός αριθμός, τότε ο n/2 είναι φυσικός αριθμός» είναι ένα τυπικό παράδειγμα, στο οποίο η υπόθεση είναι ότι το n είναι άρτιος φυσικός αριθμός, και το συμπέρασμα είναι ότι το n/2 είναι επίσης φυσικός αριθμός.

Για να είναι δυνατό να αποδειχθεί, ένα θεώρημα θα πρέπει να είναι δυνατό να εκφραστεί ως μια ακριβής, τυπική πρόταση. Παρ' όλα αυτά, τα θεωρήματα εκφράζονται συνήθως σε φυσική γλώσσα αντί σε κάποια τελείως συμβολική μορφή, με την πρόθεση ότι ο αναγνώστης μπορεί να παράγει την τυπική διατύπωση από την άτυπη. Επιπλέον, υπάρχουν συχνά υποθέσεις που κατανοούνται από τα συμφραζόμενα, χωρίς να διατυπώνονται ρητά.

Συχνά στα μαθηματικά επιλέγεται ένας αριθμός υποθέσεων που θεωρούνται αληθείς σε μια δεδομένη θεωρία, και στη συνέχεια λέγεται ότι η θεωρία αποτελείται από όλα τα θεωρήματα που αποδεικνύονται με αυτές τις υποθέσεις. Στην περίπτωση αυτή οι υποθέσεις που απαρτίζουν τη θεμελιακή αυτή βάση, λέγονται αξιώματα (ή αιτήματα) της θεωρίας. Το γνωστικό πεδίο των μαθηματικών που μελετά τα τυπικά αξιωματικά συστήματα και τις αποδείξεις που μπορούν να γίνουν εντός τους, λέγεται Θεωρία Αποδείξεων.

Ορισμένα θεωρήματα είναι προφανή, με την έννοια ότι έπονται από ορισμούς, αξιώματα, και άλλα θεωρήματα με προφανή τρόπο, και οι αποδείξεις τους δεν περιέχουν ιδιαίτερα εκπληκτικούς και ενδιαφέροντες συλλογισμούς. Κάποια άλλα λέγονται βαθειά: οι αποδείξεις τους μπορεί να είναι εκτεταμένες και δύσκολες, να χρησιμοποιούν περιοχές των μαθηματικών που θεωρούνται μακρινές από τη διατύπωση του θεωρήματος, ή να καταδεικνύουν εκπληκτικές διασυνδέσεις μεταξύ απομακρυσμένων κλάδων των μαθηματικών.[1] Ένα θεώρημα μπορεί να είναι απλό στη διατύπωσή του, αλλά να έχει βαθιά απόδειξη. Κλασσικό παράδειγμα είναι το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, και υπάρχει πλήθος άλλων παραδειγμάτων από απλά, αλλά δύσκολα θεωρήματα στη θεωρία αριθμών και τη συνδυαστική, ανάμεσα σε άλλες περιοχές.

Υπάρχουν κάποια θεωρήματα για τα οποία υπάρχει γνωστή απόδειξη, αλλά αυτή δεν είναι δυνατό να γραφεί εύκολα. Τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι το θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων και η εικασία του Κέπλερ. Και τα δύο γνωρίζουμε ότι ισχύουν, ανάγοντάς τα σε υπολογιστική αναζήτηση, που στη συνέχεια επαληθεύεται με κάποιο πρόγραμμα υπολογιστή. Αρχικά, πολλοί μαθηματικοί δεν αποδεχόντουσαν αυτή τη μορφή απόδειξης, αλλά τα τελευταία χρόνια έχει γίνει περισσότερο αποδεκτή. Ο μαθηματικός Ντόρον Ζάιλμπέργκερ έχει φτάσει να ισχυριστεί ότι αυτά είναι πιθανώς τα μόνα μη προφανή αποτελέσματα που έχουν ποτέ αποδειχθεί από μαθηματικούς.[2] Πολλά μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να αναχθούν σε σαφείς υπολογισμούς, όπως οι πολυωνυμικές ταυτότητες, οι τριγωνομετρικές ταυτότητες, και οι υπεργεωμετρικές ταυτότητες[3]

Ορολογία Edit

Τα θεωρήματα συχνά υποδηλώνονται από αρκετούς άλλους όρους. Η ίδια η ετικέτα Θεώρημα φυλάσσεται για τα σημαντικότερα αποτελέσματα, ενώ τα αποτελέσματα που είναι λιγότερο σημαντικά ή διακρίνονται με άλλους τρόπους ονομάζονται από την ακόλουθη ορολογία:

  • Η πρόταση είναι μία δήλωση που δεν συνδέεται με κάποιο συγκεκριμένο θεώρημα. Αυτός ο όρος μερικές φορές υπονοεί για μια δήλωση ότι έχει απλή απόδειξη ή ότι είναι βασική συνέπεια ενός ορισμού που χρειάζεται να δηλωθεί αλλά είναι αρκετά εμφανής ώστε να μην χρειάζεται απόδειξη. Η λέξη πρόταση μερικές φορές χρησιμοποιείται για το δηλωτικό μέρος ενός θεωρήματος.
  • Το λήμμα είναι ένα "προθεώρημα", μία δήλωση που σχηματίζει μέρος της απόδειξης ενός μεγαλύτερου θεωρήματος. Η διάκριση μεταξύ των θεωρημάτων και των λημμάτων είναι μάλλον αυθαίρετη, μιας και το μείζον αποτέλεσμα του ενός μαθηματικού είναι η ελάσσων αξίωση ενός άλλου. Το Λήμμα του Γκάους και το Λήμμα του Ζορν, για παράδειγμα, είναι αρκετά ενδιαφέροντα ώστε μερικοί συγγραφείς να τα παρουσιάζουν χωρίς να έχουν πρόθεση να τα χρησιμοποιήσουν στην απόδειξη κάποιου θεωρήματος.
  • Το πόρισμα είναι μια πρόταση που συνεπάγεται με μικρή ή και καθόλου απόδειξη από ένα άλλο θεώρημα ή ορισμό. Αυτό σημαίνει ότι η πρόταση Β είναι πόρισμα της πρότασης Α αν η Β μπορεί γρήγορα να συναχθεί από την Α.
  • Η Αξίωσηαίτημα) είναι ένα απαραίτητο ή ανεξάρτητα ενδιαφέρον αποτέλεσμα που μπορεί να είναι μέρος της απόδειξης μιας άλλης δήλωσης. Παρά το όνομα, οι αξιώσεις πρέπει να αποδειχθούν.

Υπάρχουν και άλλοι όροι, που χρησιμοποιούνται λιγότερο συχνά, οι οποίοι προσδίδονται συμβατικά σε αποδεδειγμένες δηλώσεις, έτσι ώστε ορισμένα θεωρήματα να αναφέρονται με ιστορικά ή συνηθισμένα ονόματα. Για παράδειγμα:

Μερικά πασίγνωστα θεωρήματα έχουν ακόμα πιο ιδιοσυγκρατικά ονόματα. Ο Αλγόριθμος διαίρεσης είναι ένα θεώρημα που εκφράζει το αποτέλεσμα της διαίρεσης στους φυσικούς αριθμούς και τους γενικότερους Δακτυλίους.

Το Παράδοξο των Μπανάχ–Τάρσκι είναι ένα θεώρημα στη Μετρική Θεωρία του οποίου το αποτέλεσμα αποτελεί παράδοξο καθώς βρίσκεται σε αντίθεση με την κοινή διαίσθηση για τον όγκο στον τρισδιάστατο χώρο.

Μία μη-αποδεδειγμένη δήλωση που πιστεύεται ότι είναι αληθής καλείται εικασία (ή ενίοτε υπόθεση, αλλά με διαφορετικό νόημα από το παραπάνω).

Για να θεωρηθεί εικασία, μια δήλωση πρέπει συνήθως να προταθεί δημόσια, οπότε το όνομα του ερευνητή που διατύπωσε την πρόταση μπορεί να προσκολληθεί στην εικασία, όπως με την Εικασία του Γκόλντμπαχ. Άλλες διάσημες εικασίες αποτελούν η Εικασία του Κόλλατζ και η Υπόθεση του Ρίμαν.

Θεμελιώδη ΘεωρήματαEdit

ΥποσημειώσειςEdit

  1. Βλ. Deep Theorem.
  2. Doron Zeilberger's 51st Opinion
  3. Petkovsek et al. 1996.
  4. Η λέξη νόμος μπορεί επίσης να παραπέμπει σε ένα αξίωμα, ένα κανόνα συμπερασμού ή, στην Θεωρία πιθανοτήτων, μία κατανομή πιθανότητας.

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki