Fandom

Science Wiki

Μετρικός Τανυστής

63.273pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Μετρικός Τανυστής

Metric Tensor


Maths-Tensor-Metric-goog.gif

Μετρικός Τανυστής.

- Ένας τανυστής που καθορίζει την μετρική ενός Χώρου.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Μετρικός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "μέτρο".

ΕισαγωγήEdit

Εμφανίζεται συνήθως στην μετρική ενός Χώρου.

ds^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}dx^i dx^j

ΑναπαράστασηEdit

Η μορφή του (δηλ. η ανάπαράστασή του) εξαρτάται

Δισδιάστατος Επίπεδος ΧώροςEdit

g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \


g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{bmatrix} \


Τρισδιάστατος Επίπεδος ΧώροςEdit

g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \


g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \


g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \end{bmatrix} \

ExamplesEdit

The Euclidean metricEdit

The most familiar example is that of elementary Euclidean geometry: the two-dimensional Euclidean metric tensor. In the usual x-y coordinates, we can write

g = 
\begin{bmatrix} 
1 & 0 \\ 
0 & 1
\end{bmatrix}. \

The length of a curve reduces to the formula:

L = \int_a^b \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2}.   \

Polar MetricEdit

The Euclidean metric in some other common coordinate systems can be written as follows.

Polar coordinates: (r, \theta) \

x = r \cos\theta
y = r \sin\theta
J = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta \\ 
\sin\theta & r\cos\theta
\end{bmatrix}.

So

g = J^\top J = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \

by trigonometric identities.

In general, in a Cartesian coordinate system xi on a Euclidean space, the partial derivatives \partial/\partial x^i are orthonormal with respect to the Euclidean metric. Thus the metric tensor is the Kronecker delta δij in this coordinate system. The metric tensor with respect to arbitrary (possibly curvilinear) coordinates q^i is given by:

g_{ij} = \sum_{kl}\delta_{kl}{\partial x^k \over \partial q^i} {\partial x^l \over \partial q^j} = \sum_k\frac{\partial x^k}{\partial q^i}\frac{\partial x^k}{\partial q^j}.

The spherical metricEdit

The unit sphere in R3 comes equipped with a natural metric induced from the ambient Euclidean metric. In standard spherical coordinates (\theta,\phi), with \theta the co-latitude, the angle measured from the z axis, and \phi the angle from the x axis in the xy plane, the metric takes the form

g = 
\left[\begin{array}{cc} 
1 & 0 \\ 
0 & \sin^2 \theta
\end{array}\right].

This is usually written in the form

ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2.

Lorentzian metrics from relativityEdit

In flat Minkowski space (special relativity), with coordinates x^\mu \rightarrow (x^0, x^1, x^2, x^3)= (ct, x, y, z) \ , the metric is

\eta = 
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0\\ 
0 & -1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & -1 
\end{bmatrix}. \

For a curve with—for example—constant time coordinate, the length formula with this metric reduces to the usual length formula. For a timelike curve, the length formula gives the proper time along the curve.

In this case, the spacetime interval is written as

ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = dx^\mu dx_\mu = \eta_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu\ .

The Schwarzschild metric describes the spacetime around a spherically symmetric body, such as a planet, or a black hole. With coordinates (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, r, \theta, \phi) , we can write the metric as

G = (g_{\mu\nu}) = 
\begin{bmatrix} 
(1-\frac{2GM}{rc^2}) & 0 & 0 & 0\\ 
0 & -(1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -r^2 & 0 
\\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta 
\end{bmatrix}\,

where G (inside the matrix) is the gravitational constant and M the mass of the body.

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki