Fandom

Science Wiki

Νόμος Stefan-Boltzmann

63.276pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Νόμος

Laws of physics


Laws-Science-01-goog.jpg

Επιστημονικός Νόμος Επιστημονικοί Νόμοι
Μαθηματικό Θεώρημα Νόμοι Μαθηματικών
Φυσικός Νόμος Νόμοι Φυσικής
Νόμοι Χημείας
Νόμοι Γεωλογίας
Νόμοι Βιολογίας
Νόμοι Οικονομίας

Science-01-goog.png

Επιστήμη Επιστήμες Φυσικές Επιστήμες Βιο-Επιστήμες Γεω-Επιστήμες Οικονομικές Επιστήμες Θεωρητικές Επιστήμες Κοινωνικές Επιστήμες Επιστήμες Υγείας
Τεχνολογία
Επιστημονικός Κλάδος Επιστημονικός Νόμος Επιστημονική Μέθοδος Επιστημονική Θεωρία Επιστημονικά Κέντρα Γης Επιστήμονες Γης

- Νόμος της Φυσικής.

- Ακριβέστερα, είναι ένας νόμος της Κυματικής

- Χρονολογία ανακάλυψης.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "νόμος" σχετίζεται ετυμολογικά με το όνομα του φυσικού επιστήμονα "[[ ]]".

ΔιατύπωσηEdit

Η ολική ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας από ένα Μέλαν Σώμα εξαρτάται από την 4η δύναμη της απόλυτης θερμοκρασίας.

ΑνάλυσηEdit

Ο νόμος Stefan-Boltzmann, γνωστός και ως νόμος Stefan, δηλώνει ότι η ολική ενέργεια που ακτινοβολείται από την μονάδα επιφάνειας ενός μελανού ή ενός φαιού σώματος (RT) και ονομάζεται φασματική εκπομπή ή Αφετική Ικανότητα ή φάσμα της ακτινοβολίας, είναι ευθέως ανάλογη της τέταρτης δύναμης της απόλυτης θερμοκρασίας (T) του:

R_T=\sigma \epsilon\ T^4

Η αφετική ικανότητα (RT) έχει διαστάσεις πυκνότητας ισχύος (ενέργεια ανά μονάδα χρόνου ανά μονάδα επιφάνειας) και στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI) μετρείται σε

  • Joule ανά δευτερόλεπτο ανά τετραγωνικό μέτρο (J/s/m²), ή
  • Watt ανά τετραγωνικό μέτρο (W/m²).

Η απόλυτη θερμοκρασία (T) έχει ως μονάδα στο SI το βαθμό kelvin (°Κ).

Ο συντελεστής εκπομπής ε είναι αδιάστατος αριθμός και για ένα Μέλαν Σώμα, δηλαδή ένα τέλειο πομπό, η τιμή του είναι ε = 1. Η σταθερά αναλογίας σ, που ονομάζεται σταθερά Stefan-Boltzmann ή σταθερά Stefan, δεν είναι θεμελιώδης εφόσον εξάγεται από γνωστές φυσικές σταθερές.

Η τιμή της είναι:


\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670 400 \times 10^{-8} \textrm{J\,s}^{-1}\textrm{m}^{-2}\textrm{K}^{-4}.
όπου:
k η σταθερά Boltzmann,
c η Ταχύτητα Φωτός στο κενό, και
h η σταθερά Planck.

Ο νόμος αυτός ανακαλύφθηκε το 1879 από τον Stefan και εξήχθηκε θεωρητικά με τη βοήθεια της Θερμοδυναμικής από τον Boltzmann το 1884. Ο Boltzmann χρησιμοποίησε την ιδέα μιας ιδανικής θερμικής μηχανής που χρησιμοποιούσε φως για τη λειτουργία της αντί για κάποιο αέριο καύσιμο.

Ο νόμος αυτός είναι έγκυρος μόνο για ιδανικά σώματα, που είναι είτε τέλειοι πομποί (δηλαδή μελανά σώματα), είτε ατελείς πομποί των οποίων όμως ο συντελεστής εκπομπής (ε) είναι ανεξάρτητος του μήκους κύματος της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας (φαιά σώματα).

Ο Stefan δημοσίευσε το νόμο αυτό σε άρθρο του στην Ακαδημία Επιστημών της Βιέννης στις 20 Μαρτίου του 1879, με τίτλο "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" (Περί της σχέσεως μεταξύ θερμικής ακτινοβολίας και θερμοκρασίας).

Εξαγωγή του νόμου Stefan-Boltzmann Edit

Εξαγωγή με τη βοήθεια του νόμου PlanckEdit

Ο νόμος Stefan-Boltzmann μπορεί να εξαχθεί εύκολα από τον νόμο Planck για την ακτινοβολία του μέλανος σώματος, ολοκληρώνοντας την ένταση της ακτινοβολίας ως προς την συχνότητα v, για όλες τις συχνότητες (0<\nu<\infty ) σε στερεά γωνία ημίσειας σφαίρας (οι κατευθύνσεις στις οποίες εκπέμπει το σώμα):


R_T=\int_0^\infty \!d\nu \int_{\Omega_0} d\Omega~I(\nu,T) \cos(\theta)

όπου Ω0 η μισή σφαίρα μέσα στην οποία εκπέμπεται η ακτινοβολία, και I(\nu,T)d\nu είναι η ποσότητα ενέργειας που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα στη θερμοκρασία Τ ανά μονάδα επιφάνειας ανά μονάδα χρόνου ανά μονάδα στερεάς γωνίας σε εύρος συχνοτήτων [\nu,\nu+d\nu]. Ο παράγοντας του συνημιτόνου περιλαμβάνεται διότι το μέλαν σώμα είναι τέλειος Λαμπερτιανός εκπομπός. Χρησιμοποιώντας τη σχέση dΩ= ημ(θ) dθdφ και ολοκληρώνοντας παίρνουμε:


R_T=\int_0^\infty \!d\nu \int_0^{2\pi} \!d\phi \int_0^{\pi/2}\!d\theta
~I(\nu,T) \cos(\theta)\sin(\theta)=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}\,T^4

Εξαγωγή με θερμοδυναμικά επιχειρήματα Edit

Το γεγονός ότι η ενεργειακή πυκνότητα της ακτινοβολίας που βρίσκεται περιορισμένη σε μια κοιλότητα είναι ανάλογη της τέταρτης δύναμης της θερμοκρασίας μπορεί να γίνει κατανοητό με τη βοήθεια της θερμοδυναμικής. Από την κλασσική ηλεκτροδυναμική ξέρουμε ότι η πίεση (P) που ασκεί η ακτινοβολία στα τοιχώματα της κοιλότητας συνδέεται με την πυκνότητα ενέργειας μέσω της σχέσης:

P=\frac{u}{3}

Η συνολική εσωτερική ενέργεια της κοιλότητας μπορεί επομένως να γραφεί ως:

U=3PV\,

Εισάγοντας το αυτό στον θεμελιώδη νόμο της θερμοδυναμικής

dU=T dS - P dV\,

παίρνουμε την εξίσωση:

dS=4\frac{P}{T}dV + 3\frac{V}{T}dP

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση αυτή για να καταλήξουμε σε μια σχέση του Μάξουελ. Από την εξίσωση φαίνεται ότι

\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{P}=4\frac{P}{T}

και

\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{V}=3\frac{V}{T}

Λόγω της συμμετρίας στις δεύτερες παραγώγους των S, P και V πρέπει να ισχύει:

4\left(\frac{\partial \left(P/T\right)}{\partial P}\right)_{V}= 3\left(\frac{\partial \left(V/T\right)}{\partial V}\right)_{P}

Επειδή η πίεση είναι ανάλογη της εσωτερικής ενεργειακής πυκνότητας, εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία και όχι από τον όγκο. Επομένως στην παράγωγο του δεξιού μέλους της εξίσωσης, η θερμοκρασία είναι σταθερή. Υπολογίζοντας τις παραγώγους παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση:

\frac{1}{P}\frac{dP}{dT}=\frac{4}{T}

Από αυτό προκύπτει ότι:

u=3P \propto T^{4}

Παραδείγματα Edit

Η Θερμοκρασία του Ήλιου Edit

Με την βοήθεια του νόμου του ο Stefan προσδιόρισε την θερμοκρασία του Ήλιου. Για να το πετύχει αυτό έλαβε υπόψιν του τα πειραματικά δεδομένα του Charles Soret, ο οποίος είχε δείξει ότι η πυκνότητα της ενεργειακής ροής που προέρχεται από τον Ήλιο είναι κατά 29 φορές μεγαλύτερη από την πυκνότητα της ενεργειακής ροής ενός δίσκου θερμοκρασίας μεταξύ 1900 °C και 2000 °C (με βάση τους υπολογισμούς του Soret). Ο δίσκος είχε τοποθετηθεί σε τέτοια απόσταση από την συσκευή μέτρησης ώστε η στερεά γωνιά υπό την οποία παρατηρείται να είναι ίση με αυτήν του Ήλιου. Ο Στέφαν υπολόγισε ότι το ⅓ της ακτινοβολίας του Ήλιου απορροφάται από την ατμόσφαιρα της γης. Έτσι θεώρησε ότι η σωστή πυκνότητα ροής είναι 3/2 φορές μεγαλύτερη, δηλαδή 29 × 3/2 = 43,5.

Ακριβείς μετρήσεις της ατμοσφαιρικής απορρόφησης δεν είχαν γίνει μέχρι το 1888 και το 1904. Ο Stefan, λοιπόν, θεώρησε ως θερμοκρασία του δίσκου τον μέσο όρο των θερμοκρασιών που υπολόγισε ο Soret, δηλαδή 1950 °C, ή περίπου 2200 °K σε απόλυτη κλίμακα. Επειδή η τέταρτη ρίζα του 43,5 ισούται με 2,57, συμπεραίνουμε από τον νόμο ότι ο Ήλιος είναι 2,57 φορές θερμότερος από τον δίσκο. Έτσι ο Stefan κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η θερμοκρασία της επιφάνειας του Ήλιου είναι περίπου 5430 °C ή 5700°K (Η σύγχρονες μετρήσεις δίνουν 5780 °K). Αυτός ήταν ο πρώτος υπολογισμός της Θερμοκρασίας του Ήλιου που προσέγγισε την πραγματικότητα.

Προηγουμένως οι υπολογισμοί κυμαίνονταν από 1800 °C μέχρι και 13,000,000 °C. Ή πρώτη τιμή οφείλεται στον Claude Servais Mathias Pouillet που κατέληξε σε αυτήν το 1838 χρησιμοποιώντας τον νόμο Dulong-Petit. Ο Pouilett επίσης υπολόγισε την μισή τιμή από την πραγματική πυκνότητα ενεργειακής ροής του Ήλιου.

Η θερμοκρασία των άστρων Edit

Η θερμοκρασία ενός άλλου Άστρου εκτός από τον Ήλιο μπορεί να υπολογισθεί προσεγγιστικά με παρόμοιο τρόπο αν θεωρήσουμε ότι το Άστρο εκπέμπει ως Μέλαν Σώμα:

L = 4 \pi R^2 \sigma T_{e}^4
όπου:
L είναι η λαμπρότητα,
σ είναι η σταθερά Stefan-Boltzmann,
R είναι η ακτίνα του Άστρου και
T η θερμοκρασία που θα είχε ένα Μέλαν Σώμα της ίδιας λαμπρότητας και της ίδιας ακτίνας όπως το Άστρο (effective temperature).

Η ίδια σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσεγγιστικό υπολογισμό της ακτίνας ενός άστρου της κύριας ακολουθίας σε σχέση με τον Ήλιο:

\frac{R}{R_\bigodot} \approx \left ( \frac{T_\bigodot}{T} \right )^{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{L_\bigodot}}

όπου R_\bigodot, είναι η Ηλιακή ακτίνα.

Με τον νόμο Stefan-Boltzmann, οι αστρονόμοι μπορούν εύκολα να συμπεράνουν την ακτίνα των Αστέρων. Συναντούμε τον ίδιο νόμο στην Θερμοδυναμική Μελανών Οπών, κατά την εκπομπή της ακτινοβολίας Hawking

Η θερμοκρασία της Γης Edit

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε την θερμοκρασία της Γης TE εξισώνοντας την ενέργεια που λαμβάνει από τον Ήλιο με την ενέργεια που ακτινοβολείται από την Γη:

 T_E \,  = T_S \sqrt{r_S\over 2 a_0 } \;
 = 5780 \; {\rm K} \times \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.59787066 \times 10^{9} \; {\rm m} }
 = 278.776 \; {\rm K} \; ,

όπου TS η θερμοκρασία του Ήλιου, rS η ακτίνα του Ήλιου και a0 η Αστρονομική Μονάδα (το μισό του μέγιστου άξονα της έλλειψης που σχηματίζει η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο), και δίνει 6 °C.

Η επιφάνεια του Ήλιου είναι 21 φορές πολλαπλάσια από αυτήν της Γης, επομένως εκπέμπει 190.000 φορές περισσότερη ενέργεια ανά τετραγωνικό μέτρο. Η απόσταση Γης - Ήλιου είναι 215 φορές η ακτίνα του Ήλιου, μειώνοντας την ενέργεια ανά τετραγωνικό μέτρο κατά ένα παράγοντα 46.000.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το εμβαδό της διατομής μιας σφαίρας είναι το 1/4 του εμβαδού της επιφάνειάς της, βλέπουμε ότι υπάρχει ισοδυναμία (342 W ανά m2 εμβαδό επιφάνειας, 1,370 W ανά m2 εμβαδό διατομής).

Αυτό εξηγεί χονδρικά τον λόγο που η θερμοκρασία της Γης είναι T ~ 300 K. Η ελάχιστη αλλαγή της απόστασης της Γης από τον Ήλιο μπορεί να αλλάξει την μέση θερμοκρασία της Γης.

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki