Fandom

Science Wiki

Πιθανότητα

63.268pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Πιθανότης

Probability


Mathematics-01-goog.jpg

Μαθηματικά

Probability-01-goog.jpg

Πιθανοθεωρία Πιθανότητα Μαθηματικά

Probability-02-goog.jpg

Μέση Τιμή Πιθανότητα Πιθανοθεωρία Μαθηματικά

Probability-Map-goog.gif

Πιθανοθεωρία Στατιστική Μαθηματικά

Probability-Statistics-01-goog.jpg

Πιθανοθεωρία Στατιστική Μαθηματικά

Probability-Density-01-goog.png

Πυκνότητα Πιθανότητας

- Μία μαθηματική έννοια.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Πιθανότητα" σχετίζεται ετυμολογικά με τις λέξεις

Σχετική ΕπιστήμηEdit

Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η μαθηματική μελέτη της πιθανότητας.

ΠεριγραφήEdit

Oι πιθανότητες ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιο τυχαίο τρόπο. Οι πιθανότητες P(E) ανατίθενται στα γεγονότα E. Οι πιθανότητες είναι κανονικοποιημένες και παίρνουν τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1.

Δυο βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η Τυχαία Μεταβλητή και η Συνάρτηση Κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Κλασσική ΠιθανότηταEdit

Η εννοία της πιθανότητας οριστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος.

Βασικοί ΟρισμοίEdit

  • Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με \,\omega.
  • Δειγματοχώρος \Omega\, είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο \,\omega ισχύει \,\omega\in\Omega.
  • Γεγονός A\, είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του \Omega,\, A \sub\Omega\,.

To \Omega\, είναι το ίδιο ένα γεγονός και ονομάζεται βέβαιο γεγονός.

ΠαράδειγμαEdit

Θεώρουμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε έξι απλά ενδεχόμενα. 'Εστω \,\omega_1 το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα \,\omega_i, i=2,\dots,6. Ο δειγματοχώρος ειναι ο \,\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\} ή για λόγους απλότητας \,\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Το γεγονός A\, να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) \,A=\{2, 4, 6\}. Το γεγονός B\, να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι \,B=\{1, 2\}.

ΟρισμόςEdit

Η κλασσική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα.

Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}

ΠαράδειγμαEdit

Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε

P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{\#\{2, 4, 6\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac36=0,5
P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{\#\{1,2\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac26=0,333

Μέτρο πιθανότηταςEdit

Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό Andrey Kolmogorov.

ΟρισμόςEdit

Έστω ένα σύνολο \Omega και μία σ-άλγεβρα του \mathcal{F}. Πιθανότητα P ονομάζεται η συνάρτηση P:\mathcal{F}\to \R που ικανοποιεί:

  1. P(A)\geq 0, \;\forall A\in\mathcal{F}
  2. P(\Omega)=1\,
  3. P(\cup_{i\in I}A_i) = \sum_{i\in I}P(A_i)\quad \forall \{A_i\}_{i\in I}\sub\mathcal{F}, I\sub\N:A_i\cap A_j = \emptyset \;\forall i\neq j

Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον (\Omega, \mathcal{F}) με την ιδιότητα P(\Omega)=1\,.

Αν στην πιθανότητα P\, αντιστοιχεί μία Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f, τότε η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:

P(A)=\int_Af(x)dx\;

ΙδιότητεςEdit

  • P(\Omega\backslash A) = 1-P(A)
  • P(\emptyset) = 0
  • P(A \cup B) = P(A) + P(B)  - P(A \cap B).

Δεσμευμένη ΠιθανότηταEdit

Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός E συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός F είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F η οποία ορίζεται, μόνο αν το F δεν είναι αδύνατο γεγονός (P(F)> 0), ως:

P(E|F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} .

Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του E, τότε τα E και F είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει P(E \cap F)=P(E)\cdot P(F).

H δεσμευμένη πιθανότητα P(\cdot|F)=:Q(\cdot) ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον (F,\mathcal{F}_F), όπου \mathcal{F}_F=\cup_{A\in\mathcal{F}}(A\cap F), αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki