Fandom

Science Wiki

Πραγματικός Αριθμός

63.276pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Πραγματικός Αριθμός

Real Number


Numbers-03-goog.jpg

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη
Τελεστής

Οι "πραγματικοί" αποτελούν ένα είδος αριθμών.

ΕτυμολογίαEdit

Ikl.jpg Αριθμοί Ikl.jpg
Α. Αριθμοσύνολα
Number
Number
Number
Number
Number

  • Πραγματικός Αριθμός
Number
Number
Number

Number
Number

Number
Number

---

Number
Number
Β. Ειδικοί Αριθμοί
Number
Number
Number

Number
Number
Γ. Άλλοι Αριθμοί
Number
Number

Number
Number
Number

Number
Number
Number

Number
Number
Number
Number
Δ. Ψηφία
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number

Number
Number
Number
Number


Η ονομασία "πραγματικός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "πράγμα".

ΕισαγωγήEdit

Οι πραγματικοί αριθμοί ορίζονται διαισθητικά ως το σύνολο όλων των αριθμών που είναι σε αμφιμονοσήμαντη (δηλ. ένα προς ένα) αντιστοιχία με τα σημεία μιας άπειρης ευθείας, που καλείται "ευθεία των πραγματικών αριθμών" ή πραγματικός άξονας.

Ο όρος "πραγματικός αριθμός" δημιουργήθηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους "φανταστικούς αριθμούς", των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίνει τους μιγαδικούς.

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της Πραγματικής Ανάλυσης.

Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε

  • ρητούς αριθμούς (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και
  • άρρητους αριθμούς (που δεν μπορούν να εκφρασθούν επακριβώς ως κλάσματα).

Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές.

Κάθε Φυσικό Μέγεθος που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως από έναν πραγματικό αριθμό.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με R.

Αξιωματική Θεμελίωση των Πραγματικών ΑριθμώνEdit

Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο R το οποίο ικανοποιεί τα παρακάτω τρία αξιώματα:

  • Το σύνολο R αποτελεί σώμα. Αναλυτικά:
    • Για όλα τα x, y, και z στο R, ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z.
    • Για όλα τα x και y στο R, x + y = y + x και xy = yx.
    • Για όλα τα x, y, και z στο R, ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz).
    • Για όλα τα x στο R, υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 \neq 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x.
    • Για όλα τα x στο R, υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε x + (−x) = 0 = (-x) + x.
    • Για όλα τα x ≠ 0 στο R, υπάρχει ένα στοιχείο x−1 στο R, τέτοιο ώστε xx −1 = 1 = x −1 x.
  • Το σώμα R είναι διατεταγμένο.
  • Το διατεταγμένο σώμα R είναι πλήρες.

Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία αξιώματα είναι: ισομορφικά, δηλ. υπάρχει μόνο ένα "πλήρες διατεταγμένο σώμα", το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Το σύνολο Q των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιεί την αρχή της πληρότητας ενώ τα σύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν σώματα.

Η ευθεία των πραγματικών αριθμώνEdit

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί σε μια ευθεία, της οποίας κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό.

Στην ευθεία αυτή, τα σημεία είναι διατεταγμένα έτσι ώστε κινούμενοι από αριστερά προς τα δεξιά η τιμή των πραγματικών αριθμών να αυξάνεται.

Έτσι, επιλέγοντας ένα σημείο x, κάθε σημείο αριστερά από αυτό αντιστοιχεί σε πραγματικό αριθμό μικρότερο από αυτόν που αντιστοιχεί στο x, ενώ κάθε σημείο δεξιά από αυτό αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό.

Αν x = 0, τότε αριστερά βρίσκονται όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, ενώ δεξιά βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στους θετικούς.

Το σύνολο R είναι ολικά διατεταγμένο, δηλαδή αν επιλέξουμε δύο αριθμούς a, \beta \in R, τότε θα ισχύει μία από τις τρεις παρακάτω σχέσεις:

a < \beta \, \quad a = \beta \quad a> \beta.

Στον πραγματικό άξονα, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε δύο σημεία του α και β, τότε

  • ή το α είναι αριστερά του β
  • ή το α θα συμπέσει με το β
  • ή το α θα είναι δεξιά του β.

Η πρόταση αυτή φαίνεται προφανής.

Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν διακόπτεται και πουθενά δεν έχει κενά. Αντίστοιχα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι τόσο πυκνό που πάντοτε μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, όσο μικρή απόσταση και αν έχουν μεταξύ τους, θα υπάρχει τουλάχιστον ακόμη ένας.

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki