## FANDOM

64.464 Pages

Προσηρτημένη Μήτρα

- Ένα Μαθηματικό Μέγεθος.

## ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Μήτρα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "μήτηρ".

## ΕισαγωγήEdit

In mathematics, the conjugate transpose or Hermitian transpose of an m -by-n

matrix A


with complex entries is the n -by-m

matrix A∗
obtained from A
by taking the transpose and then taking the complex conjugate of each entry. (The complex conjugate of a + bi


, where a

and b
are reals, is a − bi


.) The conjugate transpose is formally defined by

$(\boldsymbol{A}^*)_{ij} = \overline{\boldsymbol{A}_{ji}}$

where the subscripts denote the (i ,j )-th entry, for 1 ≤ i

≤ n


and 1 ≤ j

≤ m


, and the overbar denotes a scalar complex conjugate.

This definition can also be written as

$\boldsymbol{A}^* = (\overline{\boldsymbol{A}})^\mathrm{T} = \overline{\boldsymbol{A}^\mathrm{T}}$

where $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ denotes the transpose and $\overline{\boldsymbol{A}}$ denotes the matrix with complex conjugated entries.

Other names for the conjugate transpose of a matrix are Hermitian conjugate, bedaggered matrix, adjoint matrix or transjugate. The conjugate transpose of a matrix A

can be denoted by any of these symbols:

• $\boldsymbol{A}^*$ or $\boldsymbol{A}^\mathrm{H}$, commonly used in linear algebra
• $\boldsymbol{A}^\dagger$ (sometimes pronounced as "A

dagger"), universally used in quantum mechanics

In some contexts, $\boldsymbol{A}^*$ denotes the matrix with complex conjugated entries, and the conjugate transpose is then denoted by $\boldsymbol{A}^{{*}\mathrm{T}}$ or $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}{*}}$.

## ExampleEdit

If

$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2-i \\ 1+i & i \end{bmatrix}$

then

$\boldsymbol{A}^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 1-i \\ -2+i & -i\end{bmatrix}$

## Basic remarksEdit

A square matrix A

with entries $a_{ij}$ is called


, i.e. $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ .

, i.e. $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$ .

.

.

Even if A

is not square, the two matrices A∗A
and AA∗
are both Hermitian and in fact positive semi-definite matrices.


The conjugate transpose "adjoint" matrix A

should not be confused with the adjugate adj(A)


, which is also sometimes called "adjoint".

The conjugate transpose of a matrix A

with real entries reduces to the transpose of A


, as the conjugate of a real number is the number itself.

## Motivation Edit

The conjugate transpose can be motivated by noting that complex numbers can be usefully represented by 2×2 real matrices, obeying matrix addition and multiplication:

$a + ib \equiv \left(\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\right).$

That is, denoting each complex number z

by the real 2×2 matrix of the linear transformation on the Argand diagram (viewed as the real vector space $\mathbb{R}^2$) affected by complex z


-multiplication on $\mathbb{C}$.

An m -by-n

matrix of complex numbers could therefore equally well be represented by a 2m


-by-2n

matrix of real numbers.  The conjugate transpose therefore arises very naturally as the result of simply transposing such a matrix, when viewed back again as n


-by-m

matrix made up of complex numbers.


## Properties of the conjugate transposeEdit

• (A + B) = A + B
for any two matrices A
and B
of the same dimensions.

for any complex number r
and any m-by-n matrix A


.

• (AB) = BA
for any m-by-n matrix A
and any n-by-p matrix B


. Note that the order of the factors is reversed.

• (A) = A
for any m-by-n matrix A


.

• If A
is a square matrix, then det(A∗) = (det A)∗
and tr(A∗) = (tr A)∗


.

• A
is invertible if and only if A∗
is invertible, and in that case (A∗)−1 = (A−1)∗


.

are the complex conjugates of the eigenvalues of A


.

• Ax, y⟩ = ⟨x, Ay
 for any m


-by-n

matrix A


, any vector x

in $\mathbb{C}^n$ and any vector y
in $\mathbb{C}^m$. Here, $\langle\cdot,\cdot\rangle$ denotes the standard complex inner product on $\mathbb{C}^m$ and $\mathbb{C}^n$.


## GeneralizationsEdit

The last property given above shows that if one views A

as a linear transformation from Euclidean Hilbert space Cn
to Cm


, then the matrix A

corresponds to the adjoint operator of A


. The concept of adjoint operators between Hilbert spaces can thus be seen as a generalization of the conjugate transpose of matrices with respect to an orthonormal basis.

Another generalization is available: suppose A

is a linear map from a complex vector space V
to another, W


, then the complex conjugate linear map as well as the transposed linear map are defined, and we may thus take the conjugate transpose of A

to be the complex conjugate of the transpose of A


. It maps the conjugate dual of W

to the conjugate dual of V


.

## ΙστογραφίαEdit

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)