Fandom

Science Wiki

Συναρτησιακή Παράγωγος

63.277pages on
this wiki
Add New Page
Talk2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Παράγωγος

Derivative


Differential-01-goog.png

Διαφορικό Παράγωγος

Tagnet-02-goog.png

Διαφορική Γεωμετρία
Ανάδελτα Εφαπτομένη Εφαπτόμενο Διάνυσμα Εφαπτομενικός Χώρος Διαφορικός Τελεστής Παράγωγος

Derivative-01.gif

Παράγωγος

Derivatives-01-goog.gif

Παράγωγος

Derivatives-02-goog.jpg

Παράγωγος

Derivatives-03-goog.gif

Παράγωγος

Derivatives-04-goog.jpg

Παράγωγος

- Ένας θεμελιώδης μαθηματικός τελεστής.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Παράγωγος" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "παραγωγή".

ΠεριγραφήEdit

Στη Μαθηματική Ανάλυση, η παράγωγος είναι ένα μέτρο της μεταβολής μια συνάρτησης όταν αλλάζουν οι τιμές της εισόδου της.

Χονδρικά, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει ότι η παράγωγος εμφανίζει πόσο αλλάζει μια ποσότητα, ως συνέπεια της μεταβολής σε μία άλλη ποσότητα.

Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ή της απόστασης ενός αυτοκινήτου, για κάποια στιγμή του χρόνου, είναι η στιγμιαία ταχύτητα με την οποία το αυτοκίνητο κινείται εκείνη τη στιγμή.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει την καλύτερη Γραμμική Προσέγγιση της συνάρτησης κοντά σε αυτή την τιμή εισόδου.

Για μια Πραγματική Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος σε ένα σημείο ισούται με την κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημά της σε αυτό το σημείο.

Σε μεγαλύτερο αριθμό διαστάσεων, η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ένας Γραμμικός Μετασχηματισμός που λέγεται γραμμικοποίηση.[1]

Η διαδικασία της εύρεσης της παραγώγου λέγεται παραγώγιση ή διαφόριση (οι δύο όροι είναι συνώνυμοι).

Όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της υπάρχει και είναι μοναδική η συνάρτηση καλείται παραγωγίσιμη ή διαφορίσιμη στο x0. Το Θεμελιώδες Θεώρημα Απειροστικού Λογισμού διατυπώνει το γεγονός ότι η παραγώγιση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.

Συμβολισμός LeibnizEdit

Σύμφωνα με τον συμβολισμό του Leibniz η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται ως εξής:

\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx}

If we have a variable representing a function, for example if we set:

y = f\left(x\right)

then we can write the derivative as:

\frac{dy}{dx}

Συμβολισμός LagrangeEdit

Σύμφωνα με τον συμβολισμό του Lagrange η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται με ένα τόνο:

\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx} = f'\left(x\right)

Συμβολισμός NewtonEdit

Σύμφωνα με τον συμβολισμό του [[Newton η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται με μία τελεία:

\frac{dx}{dt} = \dot{x}

υψηλόβαθμοι ΠαράγωγοιEdit

For higher derivatives, we express them as follows:

\frac{d^n\left(f\left(x\right)\right)}{dx^n} or \frac{d^ny}{dx^n}

denotes the nth derivative of f(x) or y respectively. Historically, this came from the fact that, for example, the 3rd derivative is:

\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f\left(x\right)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}

which we can loosely write as:

\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f\left(x\right)\right) =
\frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f\left(x\right)\right)

Now drop the brackets and we have:

\frac{d^3}{dx^3}\left(f\left(x\right)\right)\ \mbox{or}\ \frac{d^3y}{dx^3}

Κανόνας αλυσίδαςEdit

The chain rule and integration by substitution rules are especially easy to express here, because the "d" terms appear to cancel:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx} etc.

and:

\int y \, dx = \int y \frac{dx}{du} \, du.

ΥποσημειώσειςEdit

  1. Ο Απειροστικός Λογισμός, είναι ένας πολύ καλά ορισμένος κλάδος των Μαθηματικών, για τον οποίο υπάρχουν πολλές πηγές. Σχεδόν όλο το υλικό που σε αυτό το άρθρο βρίσκεται στο Apostol 1967, Aposton 1969 και Spivak 1994.

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki