Science Wiki

Τετραγωνικά Ολοκληρώσιμη Συνάρτηση

64.043pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Τετραγωνικώς Ολοκληρώσιμη Συνάρτησις

Square-integrable function


Μαθηματική Ανάλυση Συνάρτηση
Πεδίο Ορισμού Πεδίο Τιμών
Ενάρτηση Εφάρτηση Αμφάρτηση
Συναρτησιακή Μονοτονία Συναρτησιακή Συνέχεια Συναρτησιακή Σύγκλιση

- Ένα είδος συνάρτησης


Η ονομασία "" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[]]".


In mathematics, a square-integrable function, also called a quadratically integrable function, is a real- or complex-valued measurable function for which the integral of the square of the absolute value is finite.

Thus, if

 \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx < \infty,

then ƒ is square integrable on the real line (-\infty,+\infty).

One may also speak of quadratic integrability over bounded intervals such as [0, 1].

An equivalent definition is to say that the square of the function itself (rather than of its absolute value) is Lebesgue integrable. For this to be true, the integrals of the positive and negative portions of the real part must both be finite, as well as those for the imaginary part.

Often the term is used not to refer to a specific function, but to a set of functions that are equal almost everywhere.

Properties Edit

The square integrable functions (in the sense mentioned in which a "function" actually means a set of functions that are equal almost everywhere) form an inner product space with inner product given by

 \langle f, g \rangle = \int_A \overline{f(x)}g(x)\, dx


  • f and g are square integrable functions,
  • Πρότυπο:Overbar is the complex conjugate of f,
  • A is the set over which one integrates—in the first example (given in the introduction above), A is (-\infty,+\infty); in the second, A is [0, 1].

Since |a|2 = Πρότυπο:Overbar, square integrability is the same as saying

 \langle f, f \rangle < \infty. \,

It can be shown that square integrable functions form a complete metric space under the metric induced by the inner product defined above. A complete metric space is also called a Cauchy space, because sequences in such metric spaces converge if and only if they are Cauchy. A space which is complete under the metric induced by a norm is a Banach space. Therefore the space of square integrable functions is a Banach space, under the metric induced by the norm, which in turn is induced by the inner product. As we have the additional property of the inner product, this is specifically a Hilbert space, because the space is complete under the metric induced by the inner product.

This inner product space is conventionally denoted by \left(L_2, \langle\cdot, \cdot\rangle_2\right) and many times abbreviated as L_2. Note that L_2 denotes the set of square integrable functions, but no selection of metric, norm or inner product are specified by this notation. The set, together with the specific inner product:

\langle\cdot, \cdot\rangle_2

specify the inner product space.

The space of square integrable functions is the Lp space in which p = 2.


Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit



Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν


>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

Ad blocker interference detected!

Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki