FANDOM


Τοπολογία

Topology


Mathematics-10-goog.jpg

Μαθηματικά Γεωμετρία Άλγεβρα Μαθηματική Λογική Μαθηματική Ανάλυση Διακριτά Μαθηματικά Τοπολογία Γραμμική Άλγεβρα Στατιστική Οικονομικά Μαθηματικά

Topology-01-goog.gif

Τοπολογία

Topology-01-goog.jpg

Τοπολογία

- Επιστημονικός Κλάδος των Μαθηματικών

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Τοπολογία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "τόπος".

ΕισαγωγήEdit

Τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία μπορεί να ορισθεί μια έννοια "κλειστότητας" έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σε αυτά.

Είναι, συνεπώς ένα είδος γενικευμένης Γεωμετρίας αφού θεωρούμε και εδώ σχήματα. Δεν ενδιαφέρει όμως η διάσταση ή μια γενικευμένη ανάλυση αφού εστιάζουμε στην συνέχεια ή μη κάποιων συναρτήσεων.

Αντικείμενο μελέτης της τοπολογίας είναι ο Τοπολογικός Χώρος. Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην Μαθηματική Ανάλυση, την Άλγεβρα και την Γεωμετρία.

Θεμελιώδεις έννοιες όπως σύγκλιση, όριο, συνέχεια, συνεκτικότητα ή συμπάγεια συναντούν στην τοπολογία την καλύτερη τους μορφοποίηση.

Η τοπολογία βασίζεται ουσιαστικά στις έννοιες του τοπολογικού χώρου και του ομοιομορφισμού.

Με τον όρο τοπολογία δηλώνεται επίσης η συλλογή ανοικτών συνόλων που ορίζουν έναν τοπολογικό χώρο.

Για παράδειγμα, ένας στερεός κύβος και μια στερεή σφαίρα είναι ομοιόμορφα, μπορούμε δηλαδή να παραμορφώσουμε το ένα μέχρι να εξασφαλίσουμε το άλλο χωρίς να κολλήσουμε ή να σχίσουμε οτιδήποτε: δεν είναι όμως δυνατόν για παράδειγμα να παραμορφώσουμε μια σφαίρα σε έναν κύκλο με τον ίδιο τρόπο, επειδή η διάσταση ενός αντικειμένου είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που δεν αλλάζει με τις μεταμορφώσεις. Υπό αυτήν την έννοια, η τοπολογία ερευνά τις βαθύτερες ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων.

ΙστορίαEdit

Προάγγελος της τοπολογίας ήταν η αρχαία Γεωμετρία. Το άρθρο του Ελβετού μαθηματικού Euler το 1736 για τις Επτά Γέφυρες του Königsberg θεωρείται ως ένα από τα πρώτα αποτελέσματα που δεν εξαρτώνται από κανέναν τύπο μέτρησης, δηλαδή ως ένα από τα πρώτα τοπολογικά αποτελέσματα.

Ο Cantor, που επινόησε τη θεωρία των συνόλων, άρχισε να μελετά τη θεωρία των συνόλων των σημείων στον ευκλείδειο χώρο προς τα τέλη του 19ου αιώνα.

Ο Frechet εισήγαγε το 1906 την έννοια του μετρικού χώρου, ενοποιώντας την εργασία των Cantor, Vito Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli και άλλων για τους χώρους των συναρτήσεων.

Το 1914 ο Hausdorff, γενικεύοντας την έννοια του μετρικού χώρου, έπλασε τον όρο Τοπολογικός Χώρος και όρισε αυτό που σήμερα ονομάζεται Χώρος Hausdorff.

Τέλος, το 1922, ο Kuratowsky, με μια επιπρόσθετη μικρή γενίκευση, έδωσε τον ορισμό που έχει σήμερα ο Τοπολογικός Χώρος.

Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην Ανάλυση, την Άλγεβρα και την Γεωμετρία.

ΟρισμοίEdit

Def. Topology (on a set). A topology on a set X is a collection τ of subsets of X, satisfying the following axioms:

(1) The empty set and X are in τ

(2) The union of any collection of sets in τ is also in τ

(3) The intersection of any finite number of sets in τ is also in τ

The elements of X are usually called points, although they can be any mathematical objects. The sets in τ are called open sets and their complements in X are called closed sets. Subsets of X may be either closed or open, neither closed nor open, or both closed and open. A set that is both closed and open is called a clopen set. The sets X and ∅ are both open and closed.

Def. Topological space. A set X for which a topology τ has been specified is called a topological space.

It can be shown that axioms (1), (2), and (3) are equivalent to the following two axioms:

(a) The union of any collection of sets in τ is also in τ

(b) The intersection of any finite number of sets in τ is also in τ

A topology on a set X then consists of any collection τ of subsets of X that forms a closed system with respect to the operations of union and intersection.

Notation. Topological space (X, τ). A topological space X with topology τ is often referred to as the topological space (X, τ).

The collection τ of open sets defining a topology on X doesn’t represent all possible sets that can be formed on X. Let π be the set of all possible sets that can be formed on X. The union or intersection of any two sets in π is a set in π. The union or intersection of any two sets in τ is a set in τ. τ represents some subset of π that is closed with respect to the operations of union and intersection. Thus we have here a situation that is analogous to a subgroup of a group or a subspace of a vector space where the elements of some subset of a larger set form a closed system (with respect to an operation) and are thus a closed system embedded within a larger closed system.

For insight and clearer understanding of the concepts look to the point sets of one, two and three dimensional spaces for a model from which to think. Let X be the points of the open interval (a, b) on the real line and τ be the set of all open sets in X. In Fig. 1 is depicted a typical open set, closed set and general set (neither open nor closed) on the interval. The set π corresponds to all possible unions and intersections of general sets in X. The union or intersection of any two open sets in X is open. Thus the collection of all open sets in X form a closed system with respect to the operations of union and intersection. They constitute a subset τ of the collection of all possible sets π in X. The set X with the topology τ represents a topological space.

ΘεματολογίαEdit

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki