Τοπολογία

Topology

Mathematics-10-goog — Μαθηματικά Γεωμετρία Άλγεβρα Μαθηματική Λογική Μαθηματική Ανάλυση Διακριτά Μαθηματικά **Τοπολογία** Γραμμική Άλγεβρα Στατιστική Οικονομικά Μαθηματικά

- Επιστημονικός Κλάδος των Μαθηματικών

Ετυμολογία

Η ονομασία "Τοπολογία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "τόπος".

Εισαγωγή

Τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία μπορεί να οριστεί μια έννοια "κλειστότητας" έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σε αυτά.

Είναι, συνεπώς ένα είδος γενικευμένης Γεωμετρίας αφού θεωρούμε και εδώ σχήματα. Δεν ενδιαφέρει όμως η διάσταση ή μια γενικευμένη ανάλυση αφού εστιάζουμε στην συνέχεια ή μη κάποιων συναρτήσεων.

Αντικείμενο μελέτης της τοπολογίας είναι ο Τοπολογικός Χώρος. Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην Μαθηματική Ανάλυση, την Άλγεβρα και την Γεωμετρία.

Θεμελιώδεις έννοιες όπως σύγκλιση, όριο, συνέχεια, συνεκτικότητα ή συμπάγεια συναντούν στην τοπολογία την καλύτερη τους μορφοποίηση.

Η τοπολογία βασίζεται ουσιαστικά στις έννοιες του τοπολογικού χώρου και του ομοιομορφισμού.

Με τον όρο τοπολογία δηλώνεται επίσης η συλλογή ανοικτών συνόλων που ορίζουν έναν τοπολογικό χώρο.

Για παράδειγμα, ένας στερεός κύβος και μια στερεή σφαίρα είναι ομοιόμορφα, μπορούμε δηλαδή να παραμορφώσουμε το ένα μέχρι να εξασφαλίσουμε το άλλο χωρίς να κολλήσουμε ή να σχίσουμε οτιδήποτε: δεν είναι όμως δυνατόν για παράδειγμα να παραμορφώσουμε μια σφαίρα σε έναν κύκλο με τον ίδιο τρόπο, επειδή η διάσταση ενός αντικειμένου είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που δεν αλλάζει με τις μεταμορφώσεις. Υπό αυτήν την έννοια, η τοπολογία ερευνά τις βαθύτερες ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων.

Ιστορία

Προάγγελος της τοπολογίας ήταν η αρχαία Γεωμετρία. Το άρθρο του Ελβετού μαθηματικού Euler το 1736 για τις Επτά Γέφυρες του Königsberg θεωρείται ως ένα από τα πρώτα αποτελέσματα που δεν εξαρτώνται από κανέναν τύπο μέτρησης, δηλαδή ως ένα από τα πρώτα τοπολογικά αποτελέσματα.

Ο Cantor, που επινόησε τη θεωρία των συνόλων, άρχισε να μελετά τη θεωρία των συνόλων των σημείων στον ευκλείδειο χώρο προς τα τέλη του 19ου αιώνα.

Ο Frechet εισήγαγε το 1906 την έννοια του μετρικού χώρου, ενοποιώντας την εργασία των Cantor, Vito Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli και άλλων για τους χώρους των συναρτήσεων.

Το 1914 ο Hausdorff, γενικεύοντας την έννοια του μετρικού χώρου, έπλασε τον όρο Τοπολογικός Χώρος και όρισε αυτό που σήμερα ονομάζεται Χώρος Hausdorff.

Τέλος, το 1922, ο Kuratowsky, με μια επιπρόσθετη μικρή γενίκευση, έδωσε τον ορισμό που έχει σήμερα ο Τοπολογικός Χώρος.

Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην Ανάλυση, την Άλγεβρα και την Γεωμετρία.

θεματογραφία

Τοπολογία
Τοπολογικό Δίκτυο και σύγκλιση δικτύων,
Tοπολογικός Χώρος, Συσταλτός Χώρος, συσταλτικότητα
Συμπάγεια
συνεκτικότητα.
Θεώρημα Tychonoff
Συμπάγεια σε μετρικούς χώρους,
διαχωρισιμότητα.
Xώρος Hausdorff.
Λήμμα Urysohn.
Oμοτοπία.
Θεώρημα Σταθερού Σημείου.
Tοπολογικός Υπόχωρος
Σχετική Τοπολογία.
Συνεχείς συναρτήσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων,
Tοπολογίες παραγόμενες από οικογένειες συναρτήσεων,
Tοπολογικά γινόμενα
Tοπολογικοί χώροι 1ης και 2ης αριθμησιμότητας
Διαχωρίσιμοι χώροι,
Xώρος Lindelof.
Φίλτρα,
Xώροι Oμοιομορφίας (Uniform Spaces),
Mετρικοποιήσιμοι χώροι,
Παρασυμπαγείς τοπολογικοί χώροι.
Kύβος Hilbert,
Tοπολογία των ανοικτών δεξιά διαστημάτων.
Algebraic Topology
Bundle
Cohomology
General Topology
Knot Theory
Low-Dimensional Topology
Manifold
Point-Set Topology
Space
Topological Invariant
Topological Operation
Topological Structure

Υποσημειώσεις

Εσωτερική Αρθρογραφία

Βιβλιογραφία

elementary applied topology

Ιστογραφία

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)