Fandom

Science Wiki

Τρίγωνο \Σχήμα

63.277pages on
this wiki
Add New Page
Talk2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Τρίγωνον

Triangle


Polygons-01-goog.gif

Πολύγωνο Πολύπλευρο Πολύγωνα Σχήμα Σχήματα Γεωμετρία Μαθηματικά

Polygons-03-goog.jpg

Πολύγωνο Πολύπλευρο

Polygons-02-goog.png

Πολύγωνο Πολύπλευρο

Polygons-04-goog.gif

Πολύγωνο Πολύπλευρο

Τriangles-01-goog.jpg

Τρίγωνο

Polyhedron-01-goog.gif

Γεωμετρία Επιπεδομετρία Στερεομετρία Αναλυτική Γεωμετρία
Πολύγωνα Κανονικά Πολύγωνα Τρίγωνο Τετράγωνο Πεντάγωνο Εξάγωνο Επτάγωνο Οκτάγωνο Εννεάγωνο Δεκάγωνο Ενδεκάγωνο Δωδεκάγωνο Εικασάγωνο
Πολύεδρα Πλατωνικά Πολύεδρα Τρίεδρο Τετράεδρο Πεντάεδρο Εξάεδρο Επτάεδρο Οκτάεδρο Εννεάεδρο Δεκάεδρο Ενδεκάεδρο Δωδεκάεδρο Εικασάεδρο
Γεωμετρικό Σχήμα Γεωμετρικά Σχήματα Γεωμετρική Έδρα Γεωμετρική Κορυφή Γεωμετρική Ακμή Γωνία Ευθεία Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο Πλάγιο Παραλληλόγραμμο Ρόμβος
Καμπύλη Καμπύλες Κύκλος Κωνική Τομή

Polyhedron-02-goog.gif

Πολύεδρα

Polyhedron-03-goog.jpg

Πολύεδρα Πλατωνικά Πολύεδρα

Geometry-Models-01-goog.gif

Ελλειπτικός Χώρος Ευκλείδειος Χώρος Υπερβολικός Χώρος

Symmetry-06-goog.png

Συμμετρία Μετασχηματισμός Τρίγωνο

Symmetry-Triangle-01-goog.png

Συμμετρία Τρίγωνο

- Ένα επίπεδο Γεωμετρικό Σχήμα.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Τρίγωνο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " γωνία".

ΕισαγωγήEdit

Το τρίγωνο στην Γεωμετρία είναι ένα επίπεδο Γεωμετρικό Σχήμα που έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές.

Πρόκειται για το μοναδικό σχήμα που έδωσε το όνομά του σε ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, την Τριγωνομετρία, γεγονός που καταδεικνύει τη σπουδαιότητά του.

Χαρακτηριστικές ΓραμμέςEdit

Το τρίγωνο χαρακτηρίζεται από τις τρείς πλευρές του.

Επιπλέον, δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου είναι

Ευκλείδεια ΓεωμετρίαEdit

Ταξινόμηση Edit

Ως προς τις πλευρές του, ένα τρίγωνο κατατάσσεται σε ένα από τα εξής τρία είδη:

  • Σκαληνό, όταν οι τρεις πλευρές του είναι άνισες μεταξύ τους.
  • Ισοσκελές, όταν δύο από τις πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους.
  • Ισόπλευρο, όταν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ως προς τις γωνίες του, ένα τρίγωνο κατατάσσεται σε ένα από τα εξής τρία είδη:

Κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνωνEdit

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τα κύρια στοιχεία τους ίσα, δηλαδή όταν οι πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες μία προς μία. Για να συμπεράνουμε ωστόσο την ισότητα δύο τριγώνων αρκεί να ελέγξουμε λιγότερα από έξι στοιχεία κάθε φορά.

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ και ΔΕΖ τρίγωνα για τα οποία ισχύει ΑΒ = ΔΕ, ΑΓ = ΔΖ και Α = Δ (ισότητα γωνιών). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε να ταυτιστούν οι ημιευθείες ΑΒ και ΔΖ. Από την ισότητα των γωνιών θα έχουμε και ταύτιση των ημιευθειών ΑΓ και ΔΖ. Από τις ισότητες των πλευρών τότε θα έχουμε ταύτιση του Β με το Ζ και του Γ με το Ζ. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα.

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη πλευρά τους ίση.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με Β = Ε (ισότητα γωνιών), Γ = Ζ (ισότητα γωνιών) και ΒΓ = ΕΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ = ΔΕ, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Θα το δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι ΑΒ > ΔΕ. Θα υπάρχει στην ΑΒ σημείο Η τέτοιο ώστε ΗΒ = ΔΕ. Θεωρούμε την ΗΓ. Επειδή το Η είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, θα είναι ΗΓΒ < Γ (ανισότητα γωνιών). Τα ΗΒΓ και ΔΕΖ θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, συνεπώς θα είναι και ΗΓΒ = Ζ (ισότητα γωνιών), που είναι άτοπο επειδή Ζ = Γ > ΗΓΒ (ανισότητα γωνιών). Ανάλογη απόδειξη ισχύει και στη περίπτωση που υποθέσουμε ότι ΑΒ < ΔΕ.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με ΑΒ = ΔΕ, ΒΓ = ΕΖ και ΑΓ = ΔΖ. Αρκεί να δείξουμε ότι Α = Δ (ισότητα γωνιών), οπότε με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Φέρνουμε την ημιευθεία Εχ έτσι ώστε ΖΕχ = Β (ισότητα γωνιών). Στην Εχ θεωρούμε το σημείο Η για το οποίο ΗΕ = ΑΒ. Θεωρούμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα ΖΗ και ΔΗ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΕΖ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, έτσι θα έχουν ΗΖ = ΑΓ και Η = Α (ισότητα γωνιών). Τα τρίγωνα ΕΔΗ και ΖΔΗ είναι ισοσκελή, συνεπώς έχουμε Δ1 = Η1 και Δ2 = Η2 (ισότητες γωνιών). Συνεπώς έχουμε Α = Η = Η1 + Η2 = Δ1 + Δ2 = Δ.

ΙδιότητεςEdit

  • Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με μία πλήρη γωνία (180°).

Απόδειξη: Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε παράλληλη χΆχ προς την απέναντι πλευρά ΒΓ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα. Επειδή οι χ'Αχ, ΒΓ είναι παράλληλες από κατασκευή, θα έχουμε τις ισότητες γωνιών χ'ΑΒ = Β και χΑΓ = Γ, ως ζεύγη εντός εναλλάξ γωνιών, άρα:

Α + Β + Γ = Α + χ'ΑΒ + χΑΓ = 180°
  • Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών.
  • Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.
  • Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ ένα τρίγωνο και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Αν ΚΆ είναι το συμμετρικό του Κ ως προς το Λ τότε το ΑΚΆΓΚ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΚΚΆ διχοτομούνται. Τότε τα Κ'Γ και ΑΚ είναι παράλληλα και ίσα, καθώς και τα Κ'Γ, ΚΒ· άρα το ΚΚΆΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει ίσες και παράλληλες δύο απέναντι πλευρές. Τότε έχουμε: ΚΚ', ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα 2ΚΛ, ΒΓ παράλληλα και ίσα, άρα ΚΛ, ΒΓ/2 παράλληλα και ίσα.

  • Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά τότε η παράλληλη θα διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒΓ τρίγωνο και Κ το μέσο της ΑΒ. Φέρνουμε Κχ παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Λ. Αν υποθέσουμε ότι είναι το μέσο της ΑΓ, τότε, από την προηγούμενη ιδιότητα, η ΚΛΆ θα είναι παράλληλη προς τη ΒΓ. Αυτό είναι άτοπο με βάση το αξίωμα παραλληλίας, αφού από το Κ θα διέρχονται δύο διαφορετικές παράλληλες προς τη ΒΓ.

Μη Ευκλείδειες ΓεωμετρίεςEdit

Στις Ρημάνειες γεωμετρίες, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου γενικά διαφέρει των 180° (σε χώρους σταθερής καμπυλότητας η διαφορά είναι γενικά ανάλογη του εμβαδού του τριγώνου).

Σφαιρικό ΤρίγωνοEdit

Σφαιρικό τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο που υποτυπώνεται στην επιφάνεια της σφαίρας και του οποίου οι πλευρές αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων αυτής.

Χαρακτηριστικά ΣημείαEdit

ΠερίκεντροEdit

Σύμβολο (Ο)

Είναι το σημείο τομής των μεσοκάθετων των πλευρών του τριγώνου

  • Ισαπέχει από τις τρεις κορυφές του τριγώνου
  • Είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου
  • Βρίσκεται:
    • Στα ορθογώνια είναι το μέσο της υποτείνουσας
    • Στα οξυγώνια είναι εσωτερικό σημείο και
    • Στα αμβλυγώνια είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου.

ΈκκεντροEdit

Σύμβολο (Ι)

Είναι το σημείο τομής των τριών διχοτόμων του τριγώνου

  • Ισαπέχει από τις πλευρές του τριγώνου
  • Είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου
  • Είναι πάντοτε εσωτερικό σημείο του τριγώνου.

ΟρθόκεντροEdit

Σύμβολο (Η)

Είναι το σημείο τομής των τριών υψών του τριγώνου

  • Αποτελεί με τις τρεις κορυφές ορθοκεντρική τετράδα.
  • Είναι κορυφή εγγραψίμων τετραπλεύρων.
  • Τα συμμετρικά του ως προς τα μέσα των πλευρών και ως προς τις πλευρές είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου.
  • Βρίσκεται:
    • Στα ορθογώνια είναι η κορυφή της ορθής γωνίας.
    • Στα οξυγώνια είναι εντός του τριγώνου και
    • Στα αμβλυγώνια είναι εκτός του τριγώνου.

ΒαρύκεντροEdit

Σύμβολο (G ή Θ )

Είναι το σημείο τομής των τριών διαμέσων του τριγώνου.

  • Διαιρεί κάθε διάμεσο σε λόγο 2.
  • Απέχει από κάθε κορυφή τα 2/3 της αντίστοιχης διαμέσου.
  • Βρίσκεται, πάντοτε, στο εσωτερικό του τριγώνου

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki