Υπόθεση Riemann

Εικασία

conjecture, List of conjectures

Εικασία Υπόθεση Θεώρηση

---

Εικασία 1/3-2/3 Εικασία abc Εικασία Andrews-Curtis Εικασία Angel Εικασία Agoh-Giuga Εικασία Andrica Εικασία Artin Εικασία Bateman-Horn Εικασία Baum-Connes Εικασία Beal Εικασία Beilinson Εικασία Berry-Tabor Εικασία Birch-Swinnerton-Dyer Εικασία Birch-Tate Εικασία Birkhoff Εικασία Bloch-Beilinson Εικασία Bloch-Kato Εικασία Bombieri-Lang Εικασία Borel Εικασία Farrell-Jones Εικασία Bost Εικασία Brocard Εικασία Brumer-Stark Εικασία Bunyakovsky Εικασία Catalan-Dickson Εικασία Caratheodory Εικασία Carmichael Εικασία Casas-Alvero Εικασία Catalan Εικασία Cherlin-Zilber Εικασία Collatz Εικασία Cramer Εικασία Conway Εικασία Deligne Εικασία Eilenberg-Ganea Εικασία Elliott-Halberstam Εικασία Erdos-Burr Εικασία Erdos-Faber-Lovasz Εικασία Erdos-Gyarfas Εικασία Erdos-Straus Εικασία Farrell-Jones Εικασία Gilbreath Εικασία Giuga Εικασία Goldbach Εικασία Goormaghtigh Εικασία Green Εικασία Grimm Εικασία Grothendieck Εικασία Guralnick-Thompson Εικασία Hadamard Εικασία Hedetniemi Εικασία Herzog-Schonheim Εικασία Hilbert-Smith Εικασία Hirsch Εικασία Hopf Εικασία Hodge Ομολογιακή Εικασία Ιακωβιανή Εικασία Εικασία Jacobson Εικασία Kakeya Εικασία Kaplansky Εικασία Keating-Snaith Εικασία Kepler Εικασία Kothe Εικασία Lawson Εικασία Lemoine Εικασία Lenstra-Pomerance-Wagstaff Εικασία Lichtenbaum Εικασία Littlewood Εικασία Lovasz Εικασία MNOP Εικασία Mazur Εικασία Deligne Εικασία Nagata Εικασία Nirenberg-Treves Εικασία Novikov Εικασία Oppermann Εικασία Pierce-Birkhoff Εικασία Pillai Εικασία dePolignac Εργοδηγική Εικασία Εικασία Quillen-Lichtenbaum Εικασία Ανακατασκευής Υπόθεση Riemann Γενικευμένη Υπόθεση Riemann Μεγάλη Υπόθεση Riemann Υπόθεση Πυκνότητας Υπόθεση Lindelof Εικασία Hilbert-Polya Εικασία Ringel-Kotzig Εικασία Sato-Tate Εικασία Schanuel Εικασία Schinzel Εικασία Scholz Εικασία Selfridge Εικασία Sendov Εικασία Serre Εικασία Singmaster Εικασία Tate Εικασία Toeplitz Ομογενειακή Εικασία Εικασία Vandiver Εικασία Vizing Εικασία vonNeumann Εικασία Waring Εικασία Weinstein Εικασία Whitehead Εικασία Zhou

- Μία εικασία

Ετυμολογία

Η ονομασία "Εικασία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "εικόνα".

Εισαγωγή

Στα μαθηματικά η Υπόθεση Riemann, η οποία εισήχθη από τον Bernhard Riemann, είναι η εικασία, ότι οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης Ζήτα, έχουν όλες πραγματικό μέρος 1/2.

Η υπόθεση Riemann συνεπάγεται αποτελέσματα για την κατανομή των πρώτων αριθμών. Συμπεριλαμβανομένων κατάλληλων γενικεύσεων, θεωρείται από κάποιους μαθηματικούς, ως το σημαντικότερο άλυτο πρόβλημα των θεωρητικών μαθηματικών.

Η υπόθεση Riemann, μαζί με την Εικασία Goldbach, αποτελεί μέρος του 8ου προβλήματος στον κατάλογο του Hilbert των "23 άλυτων προβλημάτων". Αποτελεί επίσης ένα από τα προβλήματα της χιλιετίας του Clay Mathematics Institute.

Η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν ζ(s) είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα s μπορεί να είναι οποιοσδήποτε Μιγαδικός Αριθμός εκτός του 1, και της οποίας οι τιμές είναι επίσης μιγαδικοί.

Έχει ρίζες τους αρνητικούς άρτιους αριθμούς; για τους οποίους

ζ(s) = 0, όταν το s είναι ένας από τους -2, -4, -6, ....

Αυτές ονομάζονται τετριμμένες ρίζες.

Ωστόσο, ακόμη και οι αρνητικοί άρτιοι ακέραιοι δεν είναι οι μόνες τιμές για τις οποίες η συνάρτηση ζήτα είναι μηδέν. Οι άλλες ονομάζονται μη-τετριμμένες ρίζες. Η υπόθεση Riemann αναφέρεται για τις θέσεις αυτών των μη τετριμμένων ριζών, και δηλώνει ότι:

Το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένης ρίζας της συνάρτησης ζήτα είναι 1/2.

Έτσι, εάν η υπόθεση είναι σωστή, όλες οι μη τετριμμένες ρίζες βρίσκονται στην κρίσιμη γραμμή που αποτελείται από τους μιγαδικούς αριθμούς s/2 + it, όπου t είναι ένας Πραγματικός Αριθμός και i είναι η Φανταστική Μονάδα.

Υπάρχουν αρκετά μη τεχνικά βιβλία για την υπόθεση Ρίμαν, όπως Derbyshire (2003), Rockmore (2005), Sabbagh (2003), du Sautoy (2003).

Τα βιβλία των Edwards (1974), Patterson (1988), Borwein και άλλοι (2008) και Mazur & Stein (2014) δίνουν μαθηματικές εισαγωγές, ενώ των Titchmarsh (1986), Ivić (1985) και Karatsuba & Voronin (1992) είναι προηγμένες μονογραφίες.

Συνάρτηση Ζήτα

Η συνάρτηση ζήτα του Riemann ορίζεται για μιγαδικούς s με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 1 με απολύτως συγκλίνουσα άπειρη σειρά

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.$

Ο Euler έδειξε ότι αυτή η σειρά ισούται με το γινόμενο Euler

$\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots$

όπου το άπειρο γινόμενο εκτείνεται σε όλους τους πρώτους αριθμούς p, και πάλι συγκλίνει για μιγαδικούς s με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 1. Η σύγκλιση του γινομένου του Όιλερ δείχνει ότι η ζ(s) δεν έχει μηδενικά σε αυτή την περιοχή, όπως κανένας από τους παράγοντες δεν έχει μηδενικά.

Η υπόθεση Riemann αναφέρεται σε ρίζες εκτός της περιοχής σύγκλισης αυτής της σειράς, άρα πρέπει να είναι αναλυτικά συνεχής σε όλους τους μιγαδικούς s. Αυτό μπορεί να γίνει εκφράζοντας την με όρους της συνάρτησης Dirichlet όπως ακολουθεί.

Εάν το πραγματικό μέρος του s είναι μεγαλύτερο από ένα, τότε η συνάρτηση ζήτα ικανοποιεί

$\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots.$

Ωστόσο, η σειρά στα δεξιά συγκλίνει όχι μόνο όταν το s είναι μεγαλύτερο της μονάδας, αλλά γενικότερα όποτε το s έχει θετικό πραγματικό μέρος. Έτσι, αυτή η εναλλακτική σειρά επεκτείνει τη συνάρτηση ζήτα από το Re(s)> 1 στο μεγαλύτερο πεδίο ορισμού Re(s)> 0, εξερώντας τις ρίζες $s = 1 + 2\pi in/\ln(2)$ του $1-2/2^s$.

Η συνάρτηση ζήτα μπορεί να επεκταθεί σε αυτές τις τιμές, καθώς, παίρνοντας όρια, δίνοντας μια πεπερασμένη τιμή για όλες τις τιμές του s με θετικό πραγματικό μέρος, εκτός από ένα απλό πόλο στο s = 1.

Στη λωρίδα 0<Re(s)<1 η συνάρτηση ζήτα ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση

$\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).$

Στην συνέχεια είναι δυνατόν να ορισθεί η συνάρτηση ζ(s) για όλους τους υπόλοιπους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς s υποθέτοντας ότι η εξίσωση αυτή ισχύει εκτός της λωρίδας, και αφήνοντας τη ζ(s) να ισούται με το δεξιό μέρος της εξίσωσης, όποτε το s έχει μη θετικό πραγματικό μέρος.

Αν το s είναι ένας αρνητικός ακέραιος ζυγός, τότε ζ(s) = 0, επειδή ο παράγοντας sin(πs/2) εξαφανίζεται; αυτές είναι οι τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζήτα. (Αν s είναι ένας θετικός ζυγός ακέραιος, αυτό το όρισμα δεν εφαρμόζει γιατί οι ρίζες του sin ακυρώνονται από τους πόλους της συνάρτησης γάμμα, καθώς λαμβάνει ορίσματα αρνητικούς ακεραίους.)

Η τιμή ζ(0) = −1/2 δεν καθορίζεται από τη συναρτησιακή εξίσωση, αλλά είναι η οριακή τιμή της ζ(s) αφού το s πλησιάζει το μηδέν. Η συναρτησιακή εξίσωση συνεπάγεται επίσης ότι η συνάρτηση ζήτα δεν έχει άλλες ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος εκτός από τις τετριμμένες ρίζες, άρα όλες οι μη τετριμμένες ρίζες βρίσκονται στην κρίσιμη λωρίδα όπου το s έχει πραγματικό μέρος μεταξύ 0 και 1.

Ιστορία

Στην εφημερίδα του 1859 On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude ο Riemann ανακάλυψε ένα αναλυτικό τύπο για τον αριθμό των πρώτων π(x) λιγότερο από ένα δεδομένο αριθμό x. Ο τύπος του δινόταν από από όρους της σχετικής συνάρτησης

$\begin{align}\Pi(x) &= \pi(x) +\tfrac{1}{2}\pi(x^{\frac{1}{2}}) +\tfrac{1}{3}\pi(x^{\frac{1}{3}}) +\tfrac{1}{4}\pi(x^{\frac{1}{4}}) \\ &\ \ \ \ +\tfrac{1}{5}\pi(x^{\frac{1}{5}}) +\tfrac{1}{6}\pi(x^{\frac{1}{6}}) +\cdots\end{align}$

η οποία μετρά τους πρώτους και τις πρώτες δυνάμεις μέχρι το x, μετρώντας μια πρώτη δύναμη pⁿ σαν 1/n ενός πρώτου. Το πλήθος των πρώτων μπορεί να ανακτηθεί από αυτή τη συνάρτηση από

$\begin{align} \pi(x) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^{\frac{1}{n}}) \\ &= \Pi(x) -\frac{1}{2}\Pi(x^{\frac{1}{2}}) -\frac{1}{3}\Pi(x^{\frac{1}{3}}) -\frac{1}{5}\Pi(x^{\frac{1}{5}}) \\ &\ \ \ \ +\frac{1}{6}\Pi(x^{\frac{1}{6}}) -\cdots, \end{align}$

όπου μ είναι η συνάρτηση Möbius.

Ο τύπος του Riemann γίνεται ακολούθως

$\begin{align}\Pi_0(x) &= \operatorname{Li}(x) - \sum_\rho \operatorname{Li}(x^\rho) -\log(2) \\ &\ \ \ \ +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\log(t)}\end{align}$

όπου το άθροισμα είναι μεγαλύτερο των μη τετριμμένων ρίζών της συνάρτησης ζήτα και όπου Π₀ είναι μια ελαφρώς τροποποιημένη εκδοχή της Π, η οποία αντικαθιστά τη τιμή της στα σημεία ασυνέχειας της με το μέσο όρο των άνω και κάτω ορίων της:

$\Pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\Pi(x-\varepsilon) + \Pi(x+\varepsilon)}2.$

Η άθροιση στον τύπο του Riemann δεν είναι απολύτως συγκλίνουσα, αλλά μπορεί να εκτιμηθεί παίρνοντας τις ρίζες ρ με σειρά βάση της απόλυτης τιμής του φανταστικού τους μέρους.

Η συνάρτηση Li που προκύπτει στον πρώτο όρο είναι η (μη αντισταθμίσιμη) λογαριθμική συνάρτηση ολοκληρώματος που δίνεται από την κύρια τιμή Cauchy του αποκλίνονοντος ολοκληρώματος

$\operatorname{Li}(x) = \int_0^x\frac{dt}{\log(t)}.$

Οι όροι Li(x^ρ) που αφορούν τις ρίζες της συνάρτησης ζήτα χρειάζονται κάποια προσοχή στον ορισμό τους καθώς η Li έχει σημεία διακλάδωσης στο 0 και 1, και ορίζονται (για x > 1) με αναλυτική συνέχεια στη μιγαδική μεταβλητή ρ μέσα στην περιοχή Re(ρ) > 0, δηλαδή θα πρέπει να θεωρούνται ως Ei(ρ ln x).

Οι άλλοι όροι αντιστοιχούν επίσης σε ρίζες: ο κυρίαρχος όρος Li(x) προέρχεται από το πόλο στο s = 1, θεωρούμενος ως μια ρίζα πολλαπλότητας -1, και οι υπόλοιποι μικροί όροι προέρχονται από τις τετριμμένες ρίζες.

Αυτός ο τύπος λέει ότι οι ρίζες της συνάρτησης ζήτα του Riemann ελέγχουν τις ταλαντώσεις των πρώτων γύρω από τις "αναμενόμενες" θέσεις τους. Ο Riemann γνώριζε ότι οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζήτα ήταν συμμετρικά κατανεμημένες περί την γραμμή s = 1/2 + it και ήξερε ότι όλες της οι μη τετριμμένες ρίζες της πρέπει να βρίσκονται στην περιοχή 0 ≤ Re(s) ≤ 1.

Έλεγξε ότι μερικές από τις ρίζες βρίσκονται πάνω στην κρίσιμη γραμμή με πραγματικό μέρος 1/2 και ισχυρίστηκε ότι όλες κάνουν. Αυτή είναι η υπόθεση Riemann.

Συνέπειες της υπόθεσης Riemann

Οι πρακτικές χρήσεις της υπόθεσης του Riemann περιλαμβάνουν πολλές δηλώσεις γνωστές σωστά κάτω από την υπόθεση Riemann, και μερικές οι οποίες μπορούν να αποδειχθούν ισοδύναμες με την υπόθεση Riemann.

Κατανομή των πρώτων αριθμών

Ο αναλυτικός τύπος Riemann για το πλήθος των πρώτων μικρότερο από ένα δεδομένο αριθμό σε όρους ενός αθροίσματος πέραν των ριζών της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν δηλώνει ότι το μέγεθος των ταλαντώσεων των πρώτων γύρω από την αναμενόμενη τους θέση ελέγχεται από τα πραγματικά μέρη των ριζών της συνάρτησης ζήτα.

Ειδικότερα ο όρος σφάλματος στο Θεώρημα Πρώτων Αριθμών είναι στενά συνδεδεμένος με τη θέση των ριζών: για παράδειγμα, το ελάχιστο ανω φράγμα των πραγματικών μερών των ριζών είναι το μέγιστο κάτω φράγμα των αριθμών β των οποίων το σφάλμα είναι O(x^β).

Ο Von Koch (1901) απέδειξε ότι η υπόθεση Riemann είναι ισοδύναμη με το «καλύτερο δυνατό» φράγμα για το σφάλμα του Θεωρήματος πρώτων αριθμών.

Μια ακριβής έκδοση του αποτελέσματος του Koch, εξ αιτίας του Schoenfeld (1976), δηλώνει ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με

$|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657.$

Ο Schoenfeld (1976) έδειξε επίσης ότι η υπόθεση Riemann είναι ισοδύναμη με

$|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log^2(x), \qquad \text{for all } x \ge 73.2,$

όπου ψ(x) είναι η δεύτερη συνάρτηση Chebyshev.

Η ανάπτυξη των αριθμητικών συναρτήσεων

Η υπόθεση Riemann συνεπάγεται ισχυρά φράγματα σχετικά με την ανάπτυξη πολλών άλλων αριθμητικών συναρτήσεων, πέραν των πρώτων αριθμών καταμετρώντας συνάρτηση παραπάνω.

Ένα παράδειγμα αφορά τη συνάρτηση Mobius μ. Η δήλωση ότι η εξίσωση

$\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}$

είναι έγκυρη για κάθε s με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 1/2, με το άθροισμα στη δεξιά πλευρά να συγκλίνει, είναι ισοδύναμη με την υπόθεση Riemann. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε επίσης ότι αν η συνάρτηση Mertens ορίζεται από

$M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)$

τότε ο ισχυρισμός ότι

$M(x) = O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$

για κάθε θετικό ε είναι ισοδύναμη με την υπόθεση Riemann (John Edensor Littlewood, 1912). (Η ορίζουσα της τάξης n πίνακα Redheffer είναι ίση με M(n), άρα η υπόθεση Riemann μπορεί επίσης να αναφέρεται ως προϋπόθεση για την ανάπτυξη αυτών των καθοριστικών παραγόντων. Η υπόθεση Riemann βάζει ένα μάλλον αυστηρό φράγμα στην ανάπτυξη του M, από τότε που ο Odlyzko (1985) διέψευσε τις ελαφρώς ισχυρότερες εικασίες Mertens.

$|M(x)| \le \sqrt x.$

Η υπόθεση Riemann είναι ισοδύναμη με πολλές άλλες εικασίες σχετικά με το ρυθμό αύξησης άλλων αριθμητικών συναρτήσεων εκτός από τη μ(n). Ένα τυπικό παράδειγμα είναι το θεώρημα Robin (1984), το οποίο ορίζει ότι αν σ(n) είναι η διαιρεταία συνάρτηση, που δίνεται από

$\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d$

τότε

$\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n$

για όλους τους n > 5040 αν και μόνο αν η υπόθεση Riemann είναι αληθής, όπου γ είναι η σταθερά των Euler-Mascheroni.

Η υπόθεση Lindelöf

Η υπόθεση Riemann έχει διάφορες ασθενέστερες συνέπειες, επίσης; μια είναι η υπόθεση Lindelof για το ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης ζήτα στην κρίσιμη γραμμή, η οποία δηλώνει ότι, για κάθε ε > 0,

$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) = O(t^\varepsilon),$

καθώς το t → ∞.

Η υπόθεση Riemann συνεπάγεται επίσης αρκετά αυστηρά φράγματα για το ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης ζήτα σε άλλες περιοχές της κρίσιμης λωρίδας. Για παράδειγμα, αυτό σημαίνει ότι

$e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le 2e^\gamma$

$\frac{6}{\pi^2}e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le \frac{12}{\pi^2}e^\gamma$

άρα ο ρυθμός ανάπτυξης της ζ(1+it) και της αντίστροφης της θα είναι γνωστά μέχρι ένα παράγοντα 2.

Εικασία των μεγάλων κενών μεταξύ των πρώτων

Το θεώρημα πρώτων αριθμών συνεπάγεται ότι, κατά μέσο όρο, το κενό μεταξύ του πρώτου p και του επόμενου διαδοχικού του είναι log p. Ωστόσο, κάποια κενά μεταξύ των πρώτων αριθμών μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερα από το μέσο όρο. Ο Harald Cramér απέδειξε ότι, αν υποτεθεί η υπόθεση Riemann, κάθε κενό είναι O(√p log p).

Αυτή είναι μια περίπτωση κατά την οποία ακόμη και το καλύτερο φράγμα που μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την υπόθεση Riemann είναι πολύ ασθενέστερο από ότι φαίνεται αληθινό: Η εικασία Cramer δηλώνει ότι κάθε κενό είναι O((log p)²), το οποίο, καθώς μεγαλύτερο από το μέσο κενό, είναι πολύ μικρότερο από το φράγμα που συνάγεται από την υπόθεση Ρίμαν. Αριθμητικές αποδείξεις υποστηρίζουν την εικασία Cramer.

Ισοδύναμα Κριτήρια ισοδύναμα

Πολλές καταστάσεις ισοδύναμες με την υπόθεση Goldbach έχουν ανακαλυφθεί, αν και μέχρι στιγμής καμιά από αυτές δεν έχει οδηγήσει σε σημαντική πρόοδο στην απόδειξη της (ή στην αναίρεση της).

Συνέπειες

Πολλές εφαρμογές χρησιμοποιούν τη γενικευμένη υπόθεση Riemann για σειρές Dirichlet ή συναρτήσεις ζήτα αριθμιτικών πεδίων παρά απλώς την υπόθεση Riemann.

Πολλές βασικές ιδιότητες της συνάρτησης ζήτα μπορούν εύκολα να γενικευθούν σε όλες τις σειρές Dirichlet, έτσι είναι πιθανό ότι μια μέθοδος που αποδεικνύει την υπόθεση Riemann για τη συνάρτηση ζήτα θα δούλευε επίσης για την γενικευμένη υπόθεση Riemann για Dirichlet συναρτήσεις.

Πολλά αποτελέσματα πρώτα αποδείχθηκαν χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη υπόθεση Riemann δόθηκαν αργότερα άνευ όρων αποδείξεις χωρίς τη χρήση της, αν και αυτά ήταν συνήθως πολύ πιο δύσκολα. Πολλές από τις συνέπειες της παρακάτω λίστας έχουν ληφθεί από τον Conrad (2010).

• Το 1913, o Gronwall έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann συνεπάγεται ότι η "λίστα με τα φανταστικά τετραγωνικά πεδία με αριθμό κατηγορίας 1" του Gauss είναι πλήρης, αν και οι Baker, Stark και Heegner έδωσαν αργότερα άνευ όρων αποδείξεις αυτού χωρίς τη χρήση της γενικευμένης υπόθεσης Riemann.
• Το 1917, οι Hardy και Littlewood έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann συνεπάγεται μια εικασία του Chebyshev όπου

$\lim_{x\to 1^-}\sum_{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^p=+\infty,$

η οποία δηλώνει ότι με κάποια έννοια οι πρώτοι 3 mod 4 είναι πιο συχνοί από τους πρώτους 1 mod 4.

• Το 1923 οι Hardy and Littlewood έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann συνεπάγεται μια αδύναμη μορφή της εικασίας Goldbach για περιττούς αριθμούς: ότι κάθε αρκετά μεγάλος περιττός αριθμός είναι το άθροισμα τριών πρώτων, αν και το 1937 ο Vinogradov έδωσε μια άνευ όρων απόδειξη.

Το 1997 οι Deshouillers, Effinger, te Riele, και Zinoviev έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann συνεπάγεται ότι κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 5 είναι το άθροισμα τριών πρώτων.

• Το 1934, ο Chowla έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann συνεπάγεται ότι ο πρώτος Πρώτος Αριθμός στην αριθμητική πρόοδο a mod m είναι στο μέγιστο Km²log(m)² για κάποια σταθερή σταθερά K.
• Το 1967, ο Hooley έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann συνεπάγεται την εικασία αρχικών ριζών του Αρτιν.
• Το 1973, Weinberger έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann συνεπάγεται ότι η λίστα του Euler με ιδανικούς αριθμούς είναι πλήρης.
• Ο Weinberger (1973) έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann για τις συναστήσεις ζήτα όλων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων συνεπάγεται ότι οποιοδήποτε αριθμητικό πεδίο κλάσης 1 είναι είτε ευκλείδειο ή ένα φανταστικό δευτεροβάθμιο αριθμητικό πεδίο με διακρίνουσα −19, −43, −67, ή −163.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• υπόθεση, πρόβλεψη
• Λήμμα, Πρόβλημα
• αρχή, θεώρημα, αξίωμα

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---