Fandom

Science Wiki

Φυσικός Αριθμός

63.279pages on
this wiki
Add New Page
Talk1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Φυσικός Αριθμός

Natural Number


Numbers-03-goog.jpg

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη
Τελεστής

Οι "Φυσικοί" αποτελούν ένα είδος αριθμών.

ΕτυμολογίαEdit

Ikl.jpg Αριθμοί Ikl.jpg
Α. Αριθμοσύνολα
  • Φυσικός Αριθμός
Number
Number
Number
Number
Number

Number
Number
Number

Number
Number

Number
Number

---

Number
Number
Β. Ειδικοί Αριθμοί
Number
Number
Number

Number
Number
Γ. Άλλοι Αριθμοί
Number
Number

Number
Number
Number

Number
Number
Number

Number
Number
Number
Number
Δ. Ψηφία
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number
Number

Number
Number
Number
Number


Η λέξη " Αριθμός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " ".

ΕισαγωγήEdit

Στα μαθηματικά ο όρος φυσικός αριθμός μπορεί να σημαίνει είτε ένα στοιχείο του συνόλου {1, 2, 3, ...} (δηλαδή τους θετικούς ακέραιους ή "απαριθμητικούς αριθμούς") ή ένα στοιχείο του συνόλου {0, 1, 2, 3, ...} (δηλαδή τους μη αρνητικούς ακέραιους.) Η πρώτη ερμηνεία χρησιμοποιείται γενικά στη Θεωρία Αριθμών, ενώ η δεύτερη συνήθως προτιμάται στη Μαθηματική Λογική, τη Θεωρία Συνόλων και την Επιστήμη Υπολογιστών.

Οι φυσικοί αριθμοί έχουν δύο κύριες χρήσεις: μπορούν να χρησιμοποιηθούν για απαρίθμηση ("υπάρχουν 3 μήλα στο τραπέζι"), και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ορίσουν μια διάταξη ("είναι η 3η μεγαλύτερη πόλη στη χώρα"). Οι ιδιότητες των φυσικών αριθμών που σχετίζονται με τη διαιρεσιμότητα, όπως είναι η κατανομή των πρώτων αριθμών, μελετώνται στη θεωρία αριθμών. Προβλήματα σχετικά με την απαρίθμηση μελετώνται στη Συνδυαστική.

Ορισμοί και συμβολισμοίEdit

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί ανήκουν με βάση την Θεωρία Συνόλων στο σύνολο των φυσικών αριθμών που αποτελείται από όλους τους θετικούς ακέραιους.

Το δε σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται ως εξής:

\mathbb{N}

εμπεριέχει ανάλογα με τον ορισμό του, τους θετικούς ακέραιους αριθμούς, δηλ.

\mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots \,\}

ή τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς, δηλ.

\mathbb{N}_0 = \{\, 0, 1, 2, 3, \ldots \,\}

Για τους παραπάνω συμβολισμούς και ορισμούς του συνόλου των φυσικών αριθμών, υπάρχουν πρακτικοί και ιστορικοί λόγοι. Είναι χαρακτηριστικό να αναφέρουμε ότι για αιώνες οι μόνοι γνωστοί αριθμοί ήταν οι φυσικοί χωρίς το 0 μηδέν. Στην Ευρώπη η χρήση του μηδενός ξεκίνησε από τον 13ο αιώνα. Επίσης, λόγω των ιδιαιτέρων ιδιοτήτων του μηδενός στην πράξη του πολλαπλασιασμού, δεν συμπεριλαμβάνεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών και αποφεύγεται η χρήση του στο πεδίο της Θεωρίας των Αριθμών. Αντίθετα, στα επιστημονικά πεδία της μαθηματικής λογικής, της θεωρίας συνόλων και της Πληροφορικής είναι επιθυμητή η χρήση του 0 (μηδέν) για λόγους απλούστευσης.

Τέλος είναι χαρακτηριστικό το γεγονός πως σύμφωνα με τον γερμανικό κανονισμό DIN-Norm 5473 ο αριθμός 0 (μηδέν) συμπεριλαμβάνεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Τέλος καλό είναι να ορίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών κάθε φορά ανάλογα με τις ανάγκες του κάθε μαθηματικού μοντέλου.

Συμβολισμός του συνόλου των φυσικών αριθμώνEdit

Το σύμβολο \mathcal{N} χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τη γαλλική μαθηματική ομάδα Nicolas Bourbaki στην πραγματεία τους "Éléments de mathématique". Για λόγους πρακτικούς και ευκολίας αντικαταστάθηκε με την πάροδο του χρόνου από το σύμβολο \mathbb{N}, το οποίο χρησιμοποιείται κατά κόρον στη σύγχρονη διεθνή βιβλιογραφία. Όμοια ήταν και η εξέλιξη των συμβόλων \mathbb{Q} και \mathbb{R}.

Λαμβάνοντας υπόψιν ότι το 0 (μηδέν) δεν θεωρείται πάντα στοιχείο του συνόλου των φυσικών αριθμών, είναι καλό να μιλάμε για θετικούς (1,2,3...) και μη αρνητικούς (0,1,2,3...) ακέραιους αριθμούς.

Έτσι λοιπόν, όταν σε κείμενα γίνεται χρήση του συμβόλου \mathbb{N}, για να ορίσουμε του σύνολο των φυσικών αριθμών χωρίς το μηδέν, αντίθετα χρησιμοποιούμε τα σύμβολα \mathbb{N}_0 ή \mathbb{N} \cup \{ 0 \} για ορίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών που περιέχει και το 0 (μηδέν).

Αντίθετα όταν γίνεται χρήση του συμβόλου \mathbb{N}, για τον ορισμό του συνόλου των φυσικών αριθμών με το 0 (μηδέν), χρησιμοποιούμε τα σύμβολα \mathbb{N}^+, \mathbb{N}^*, \mathbb{N}_{>0}, \mathbb{N}_{1} ή \mathbb{N} \setminus \{0\} για να ορίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών που δεν περιλαμβάνει το 0 (μηδέν).

Τέλος είναι αδιάφορο, όσο αφορά τον ορισμό του συνόλου των φυσικών αριθμών αλλά και τον ορισμό των πράξεων μέσα στο σύνολο αυτό, αν ορίζουμε το 0 ως φυσικό ή όχι.

Αξιώματα PeanoEdit

Ακολουθεί η περιγραφή του συνόλου των φυσικών αριθμών με βάση τα αξιώματα του Giuseppe Peano έτσι όπως δημοσιεύτηκαν το 1889. Στην πραγματικότητα ο Peano υιοθέτησε τα αξιώματα του Richard Dedekind ο οποίος το 1888 εξέδωσε την πραγματεία του "Was sind und was sollen die Zahlen?" και τους έδωσε μια καθαρά λογική-μαθηματική μορφή κάνοντας χρήση συμβόλων. Είναι πιο ορθό να μιλάμε λοιπόν για τα αξιώματα Πεάνο-Ντέντεκιντ.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και ο Πεάνο έκανε κάποιες παραδοχές. Μια από αυτές είναι ότι δεν ορίζει το μηδέν στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Ξεκινάει τον ορισμό των φυσικών αριθμών από το 1. Αργότερα αποδείχθηκε ότι ισχύουν τα αξιώματα αυτά και για το 0.

Θα πρέπει να τονίσουμε ότι μία από τις χαρακτηριστικές ιδιότητες του συνόλου των φυσικών αριθμών είναι η ύπαρξη ενός στοιχείου έναρξης αλλά και η ύπαρξη ενός επόμενου στοιχείου που ακολουθεί αυτό. Πρόκειται για την "αρχή της καλής διάταξης", η οποία είναι άμεσα συνυφασμένη με τη Μαθηματική Επαγωγή ή τέλεια επαγωγή.

Παραδοσιακά, οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται σύμφωνα με τα αξιώματα του Peano ως εξής:

  1. To 0 είναι φυσικός αριθμός.
  2. Κάθε φυσικός αριθμός n έχει έναν επόμενο n'.
  3. Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που να έχει ως επόμενο (διάδοχο) το 0.
  4. Δύο διακριτοί φυσικοί αριθμοί n, m έχουν διαφορετικούς επόμενους αριθμούς n', m'.
  5. Αν ένα σύνολο συμπεριλαμβάνει το 0 και κάθε επόμενο αριθμό από τους φυσικούς που συμπεριλαμβάνει, τότε συμπεριλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς (μαθηματική επαγωγή).

-Τα αξιώματα Peano περιγράφουν τους φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν αποδεικνύουν την ύπαρξή τους.

-Το τελευταίο αξίωμα καλείται επαγωγικό αξιώμα και αποτελεί το θεμέλιο της Μαθηματικής επαγωγής.

Στα παραπάνω αξιώματα γίνεται χρήση των όρων: αριθμός, επόμενο στοιχείο και μηδέν.

Ο Bertrand Russel παρατήρησε ότι τα παραπάνω αξιώματα δεν ισχύουν μόνο για τους φυσικούς αριθμούς αλλά και για οποιοδήποτε άλλο απαριθμήσιμο σύστημα αριθμών ή σύνολο.

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι να αναπαραστήσουμε τα αξιώματα Peano. Ένα δημοφιλές, όπου εισάγονται έννοιες της θεωρίας συνόλων είναι και το παρακάτω, το οποίο έρχεται σε αρμονία με την υπόθεση του Russel, επιτρέποντάς μας να κάνουμε πράξεις με σύνολα.

  1.  0 \in \mathbb{N}
  2.  \forall n: n\in\mathbb{N} \Rightarrow n'\in\mathbb{N}
  3.  \forall n: \lnot (n' = 0)
  4.  \lnot : m' = n' \lnot m = n
  5.  \mathbb{N} = \operatorname{inf}(X : 0\in X, n\in X \Rightarrow n'\in X)

Με βάση τα παραπάνω, ορίζονται στο σύνολο \mathbb{N} η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός.

Για την πρόσθεση

  1.  n+ 0 = n\
  2.  n+ m' = (n + m)'\

Για τον πολλαπλασιασμό

  1. n \cdot 0 = 0
  2. n \cdot m' = (n \cdot m) + n

Με βάση το 5ο αξίωμα (αξίωμα της επαγωγής), ορίζεται πλήρως η πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.

Αν θέσουμε αντί για το 0 (μηδέν) το 1 (ένα) προκύπτει n'=n+1\ .

Τέλος τα παραπάνω αξιώματα αποτελούν τα θεμέλια της Aριθμητικής Peano.

Συνολοθεωρητική προσέγγισηEdit

Ο Peano, μολονότι περιέγραψε τις ιδιότητες των φυσικών αριθμών, δεν θεώρησε αναγκαίο να αποδείξει και την υπαρξή τους. Αντίθετα ο John von Neumann, αντικατέστησε τους φυσικούς αριθμούς με σύνολα. Έτσι συνέταξε το παρακάτω μαθηματικό μοντέλο βασισμένο στην θεωρία συνόλων. Ξεκίνησε με την παραδοχή ενός κενού συνόλου \emptyset και το ονόμασε 0.

Έτσι έχουμε:

0 = \emptyset
1 = 0' = \{ 0 \} = \{ \emptyset \}
2 = 1' = \{ 0, 1 \} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}
3 = 2' = \{ 0, 1, 2 \} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \}
\vdots
n' = \{0,1,\ldots ,n\} = n \cup \{n\}

Όπου όπως έχουμε αναφέρει παραπάνω το "0" είναι ένα κενό σύνολο \emptyset, ενώ το "1" ένα σύνολο που εμπεριέχει το κενό σύνολο "0". Το επόμενο σύνολο "2" εμπεριέχει το προηγούμενο σύνολο "1" το περιεχόμενο του οποίου είναι το κενό σύνολο "0" κ.τ.λ.

Μολονότι η ύπαρξη μεμονωμένων φυσικών αριθμών αποδεικνύεται στη θεωρία συνόλων σχετικά εύκολα, για την απόδειξη της ύπαρξης του συνόλου όλων των φυσικών αριθμών απαιτούνται τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων των Τσερμέλο-Φρένκελ (Zermelo-Fraenkel, ZF).

Συναρτησιακή προσέγγισηEdit

Ο Λούντβιχ Βίτγκενσταϊν στο Tractatus Logico-Philosophicus (1921) έγραφε "Ο αριθμός είναι ο εκθέτης μιας πράξης", δίνοντας έτσι ένα ριζικά διαφορετικό νόημα στους φυσικούς αριθμούς: ο αριθμός δεν είναι σύνολο κάποιων στοιχείων αλλά επανάληψη κάποιας πράξης, δηλαδή κάποιας συνάρτησης. Ο Church το 1933 αναδιατυπώνει την ιδέα αυτή, στα πλαίσια του λαμδαλογισμού, ορίζοντας τους φυσικούς αριθμούς μέσα από τα αριθμιακά Τσερτς (Church numerals) ως εξής:

\bar{n}:=\lambda fx.\ f^{(n)}(x)

Έτσι, το αριθμιακό \bar{n}, δηλαδή ο φυσικός αριθμός n, εκφράζεται μέσα από τις n διαδοχικές εφαρμογές μιας πράξης f σε ένα όρισμα x. Μια απλή και εύχρηστη εκδοχή αυτής της ιδέας είναι ο επαγωγικός ορισμός των φυσικών αριθμών με χρήση αποκλειστικά του μηδέν 0 και της συνάρτησης διαδοχής S:

0\in\mathbb{N},\ \ n\in\mathbb{N}\Rightarrow S(n)\in\mathbb{N}

Δηλαδή, ο φυσικός αριθμός n θεωρείται εδώ ως η εφαρμογή της συνάρτησης διαδοχής S στο μηδέν, n διαδοχικές φορές:

n:=\underbrace{S(S(\cdots(S}_n(0))))=S^n(0)

Οι σημαντικότεροι Φυσικοί ΑριθμοίEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki