Fandom

Science Wiki

Χωρική Περιστροφή

63.255pages on
this wiki
Add New Page
Talk3 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Χωρική Στροφή

Rotation


Transformation-01-goog.png

Μετασχηματισμός Μετασχηματισμοί
Σημειακός Μετασχηματισμός Συνεχής Μετασχηματισμός Διακριτός Μετασχηματισμός
Χρονική Αναστροφή Χωρική Αναστροφή Χρονική Μεταφορά Χωρική Μεταφορά Χρονική Στροφή Χωρική Στροφή
Αβελιανός Μετασχηματισμός Αναβελιανός Μετασχηματισμός Γαλιλαϊκός Μετασχηματισμός Μετασχηματισμός Lorentz Μετασχηματισμός Poincare

Transformations-Passive-Active-01-goog.jpg

ΜετασχηματισμόςΕνεργητικός Μετασχηματισμός Παθητικός Μετασχηματισμός Μετασχηματισμός Στροφής

Rotation-01-goog.gif

Χωρική Στροφή

Symmetry-01-goog.jpg

Χωρική Στροφή

Symmetry-02-goog.jpg

Χωρική Στροφή

- Ένας μετασχηματισμός.

ΕτυμολογίαEdit

Το όνομα "Στροφή" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "στρέψη".

ΠεριγραφήEdit

Δισ-διάστατος ΧώροςEdit

Σε ένα Χώρο δύο διαστάσεων, μία περιστροφή μπορεί να καθορισθεί από μία απλή γωνία (angle), \theta.

Συμβατικά, θετικές γωνίες παριστούν δεξιόστροφη (anti-clockwise) περιστροφή.

Η μήτρα που περιστρέφει ένα διάνυσμα-στήλη (column vector) σε καρτεσιανές συντεταγμένες περί την αρχή (origin) Ο είναι:


  M(\theta) = \begin{pmatrix} 
    \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
    \sin{\theta} & \cos{\theta} 
  \end{pmatrix}

Basic rotationsEdit

The following three basic (gimbal-like) rotation matrices rotate vectors about the x, y, or z axis, in three dimensions:


\begin{alignat}{1}
R_x(\theta) &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\[3pt]
0 & \sin \theta  & \cos \theta \\[3pt]
\end{bmatrix} \\[6pt]
R_y(\theta) &= \begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\[3pt]
0 & 1 & 0 \\[3pt]
-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\
\end{bmatrix} \\[6pt]
R_z(\theta) &= \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\[3pt]
\sin \theta & \cos \theta & 0\\[3pt]
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}.
\end{alignat}

Each of these basic vector rotations typically appears counter-clockwise when the axis about which they occur points toward the observer, and the coordinate system is right-handed. Rz, for instance, would rotate toward the y-axis a vector aligned with the x-axis. This is similar to the rotation produced by the above mentioned 2-D rotation matrix. See below for alternative conventions which may apparently or actually invert the sense of the rotation produced by these matrices.

0D Απειροστή ΣτροφήEdit


\mathcal R (0)= 
\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}

1D Απειροστή ΜετατόπισηEdit


\mathcal R (l)= 
\begin{bmatrix} \color{Violet}{l_x} \end{bmatrix}



\mathcal R (l_t)= 
\begin{bmatrix} \color{Cyan}{l_t} \end{bmatrix}

1D Απειροστή ΜετατόπισηEdit


\mathcal R (l)= \begin{bmatrix} \color{Green}{l_x} \end{bmatrix}, \; \;
\mathcal R (l)= \begin{bmatrix} \color{Green}{l_y} \end{bmatrix} \; \;

1D Απειροστή ΜετατόπισηEdit


\mathcal R (l)= \begin{bmatrix} \color{Magenta}{l_x} \end{bmatrix}, \;
\mathcal R (l)= \begin{bmatrix} \color{Green}{l_y} \end{bmatrix}, \;
\mathcal R (l)= \begin{bmatrix} \color{Maroon}{l_z} \end{bmatrix} \;

\mathcal R (l)= \begin{bmatrix} 
\color{Orange}{l_x} \\
\color{Orange}{l_y} \\
\color{Orange}{l_z} 
\end{bmatrix}

3D Απειροστή ΣτροφήEdit


\mathcal R ({\color{Red}{\theta}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y} \\
\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x} \\
\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x}  & 0 
\end{bmatrix}

4D Απειροστή ΣτροφήEdit


\mathcal R ({\color{Red}{\theta}}, {\color{Blue}{\phi}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y} & \color{Blue}{+\phi_x} \\
\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x} & \color{Blue}{+\phi_y} \\
\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x}  & 0  & \color{Blue}{+\phi_z} \\
\color{Blue}{-\phi_x} & \color{Blue}{-\phi_y} & \color{Blue}{-\phi_z} & 0
\end{bmatrix}

\mathcal R ({\color{Brown}{i\theta}}, {\color{Green}{i\phi}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Brown}{+i\theta_z} & \color{Brown}{-i\theta_y} & \color{Green}{+i\phi_x}\\
\color{Brown}{-i\theta_z} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_x} & \color{Green}{+i\phi_y}\\
\color{Brown}{+i\theta_y} & \color{Brown}{-i\theta_x}  & 0  &  \color{Green}{+i\phi_x}\\ \color{Green}{-i\phi_x} & \color{Green}{-i\phi_y} & \color{Green}{-i\phi_z} & 0 \\
\end{bmatrix}

4D Απειροστή Μεταφορά-ΣτροφήEdit


\mathcal R ({\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Red}{\theta}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z} \\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y} \\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x}  \\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x}  & 0  \\
\end{bmatrix}

Η μήτρα μόνο με την Αναστροφή Χώρου είναι:


\mathcal R ({\color{Magenta}{\chi}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  \\
\color{Magenta}{+\chi_x} & \cdot & \cdot & \cdot   \\
\color{Magenta}{+\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot   \\
\color{Magenta}{+\chi_z} & \cdot  & \cdot  & \cdot   \\
\end{bmatrix}

Η μήτρα μόνο με την Αναστροφή Χώρου και Χρόνου είναι:


\mathcal R ({\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  & \color{Cyan}{+\chi_t}\\
\color{Magenta}{+\chi_x} & \cdot & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{+\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{+\chi_z} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}

Για τον Φανταστικό Χώρο έχουμε


\mathcal R ({\color{Magenta}{i\chi}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-i\chi_x} & \color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Magenta}{-i\chi_z}  \\
\color{Magenta}{+i\chi_x} & \cdot & \cdot & \cdot   \\
\color{Magenta}{+i\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot   \\
\color{Magenta}{+i\chi_z} & \cdot  & \cdot  & \cdot   \\
\end{bmatrix}

και με την επέκταση στο Χρόνο


\mathcal R ({\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-i\chi_x} & \color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Magenta}{-i\chi_z}  & \color{Cyan}{+i\chi_t}\\
\color{Magenta}{+i\chi_x} & \cdot & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{+i\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{+i\chi_z} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
\color{Cyan}{-i\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}

Μήτρες με μετασχηματισμό FourierEdit

Η μήτρα του Χρονικού Μετασχηματισμού Fourier


\mathcal R ({\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
\color{Cyan}{-\chi_t} \\
0 \\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} \\
\end{bmatrix}

H μήτρα του Χρονοχωρικού Μετασχηματισμού Fourier


\mathcal R ({\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
\color{Magenta}{+\chi_x} \\
\color{Magenta}{+\chi_y} \\
\color{Magenta}{+\chi_z} \\
\color{Cyan}{-\chi_t} \\
0 \\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} \\
\color{Magenta}{-i\chi_z} \\
\color{Magenta}{-i\chi_y} \\
\color{Magenta}{-i\chi_x} \\
\end{bmatrix}

Η μήτρα με Φανταστική Αναστροφή Χρόνου και Χώρου


\mathcal R ({\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  \\
\color{Magenta}{+\chi_x} & \cdot & \cdot & \cdot   \\
\color{Magenta}{+\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot   \\
\color{Magenta}{+\chi_z} & \cdot  & \cdot  & \cdot  \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot  \\
0 & 0  & 0  & 0  \\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot  \\
\color{Magenta}{-i\chi_z} & \cdot & \cdot & \cdot   \\
\color{Magenta}{-i\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot   \\
\color{Magenta}{-i\chi_x} & \cdot  & \cdot  & \cdot \\
0 & \color{Magenta}{+i\chi_x} & \color{Magenta}{+i\chi_y} & \color{Magenta}{+i\chi_z}  \\
\end{bmatrix}

Η ευρύτερη μήτρα με Φανταστική Αναστροφή Χρόνου και Χώρου


\mathcal R ({\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  & \color{Cyan}{+\chi_t}\\
\color{Magenta}{+\chi_x} & \cdot & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{+\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{+\chi_z} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
0 & 0  & 0  & 0 & 0 \\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_z} & \cdot & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_x} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
0 & \color{Magenta}{+i\chi_x} & \color{Magenta}{+i\chi_y} & \color{Magenta}{+i\chi_z}  & \color{Cyan}{-i\chi_t}\\
\end{bmatrix}

Επιπρόσθεση ΠεριστροφήςEdit

Επιπρόσθεση Πραγματικής Περιστροφής


\mathcal R ({\color{Red}{\theta}}, {\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  & \color{Cyan}{+\chi_t}\\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y}  & \cdot \\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x}  & \cdot \\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x} &  0 & \cdot \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_z} & \cdot & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_y} & \cdot  & \cdot & \cdot  & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_x} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
0 & \color{Magenta}{+i\chi_x} & \color{Magenta}{+i\chi_y} & \color{Magenta}{+i\chi_z}  & \color{Cyan}{-i\chi_t}\\
\end{bmatrix}

Επιπρόσθεση Φανταστικής Περιστροφής


\mathcal R ({\color{Red}{\theta}}, {\color{Brown}{\theta}},{\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  & \color{Cyan}{+\chi_t}\\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y}  & \cdot \\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x}  & \cdot \\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x} &  0 & \cdot \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
0 & 0  & 0  & 0 & 0 \\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} & \cdot  & \cdot  & \cdot & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_z} & \color{Brown}{+i\theta_y} & \color{Brown}{-i\theta_x} & 0   & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Brown}{-i\theta_z} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_x}   & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_x} & 0 & \color{Brown}{+i \theta_z} & \color{Brown}{-i \theta_y} & \cdot \\
0 & \color{Magenta}{+i\chi_x} & \color{Magenta}{+i\chi_y} & \color{Magenta}{+i\chi_z}  & \color{Cyan}{-i\chi_t}\\
\end{bmatrix}

Επιπρόσθεση Χρονικής ΠροώθησηςEdit

1) στον Πραγματικό Χρόνο


\mathcal R ({\color{Red}{\theta}}, {\color{Brown}{i\theta}}, {\color{Blue}{\phi}}, {\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  & \color{Cyan}{+\chi_t}\\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y}  & \color{Blue}{+\phi_x} \\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x}  & \color{Blue}{+\phi_y} \\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x} &  0 & \color{Blue}{+\phi_z} \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \color{Blue}{-\phi_x} & \color{Blue}{-\phi_y} & \color{Blue}{-\phi_z} & 0 \\
0 & 0  & 0  & 0 & 0 \\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_z} & \color{Brown}{+i\theta_y} & \color{Brown}{-i\theta_x} & 0   & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Brown}{-i\theta_z} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_x}   & \cdot \\
\color{Magenta}{-i\chi_x} & 0 & \color{Brown}{+i \theta_z} & \color{Brown}{-i \theta_y} & \cdot \\
0 & \color{Magenta}{+i\chi_x} & \color{Magenta}{+i\chi_y} & \color{Magenta}{+i\chi_z}  & \color{Cyan}{-i\chi_t}\\
\end{bmatrix}

2) Στον Φανταστικό Χρόνο


\mathcal R ({\color{Red}{\theta}}, {\color{Brown}{i\theta}}, {\color{Blue}{\phi}}, {\color{Green}{i\phi}}, {\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}) = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  & \color{Cyan}{+\chi_t}\\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y}  & \color{Blue}{+\phi_x} \\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x}  & \color{Blue}{+\phi_y} \\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x} &  0 & \color{Blue}{+\phi_z} \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \color{Blue}{-\phi_x} & \color{Blue}{-\phi_y} & \color{Blue}{-\phi_z} & 0 \\
0 & 0  & 0  & 0 & 0 \\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} & \color{Green}{+i\phi_x} & \color{Green}{+i\phi_y} & \color{Green}{+i\phi_z} & 0 \\
\color{Magenta}{-i\chi_z} & \color{Brown}{+i\theta_y} & \color{Brown}{-i\theta_x} & 0 & \color{Green}{-i\phi_z} \\
\color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Brown}{-i\theta_z} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_x} & \color{Green}{-i\phi_y} \\
\color{Magenta}{-i\chi_x} & 0 & \color{Brown}{+i \theta_z} & \color{Brown}{-i \theta_y} & \color{Green}{-i\phi_x} \\
0 & \color{Magenta}{+i\chi_x} & \color{Magenta}{+i\chi_y} & \color{Magenta}{+i\chi_z}  & \color{Cyan}{-i\chi_t}\\
\end{bmatrix}

3) επέκταση


\mathcal R = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  & \color{Cyan}{+\psi} 
& \cdot & \color{Cyan}{\cdot} & \color{Magenta}{\cdots} & \cdot 
\\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y}  & \color{Blue}{+\phi_x} 
& \cdot & \color{Green}{\cdot} & \color{Brown}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x}  & \color{Blue}{+\phi_y} 
& \cdot & \color{Green}{\cdot} & \color{Brown}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x} &  0 & \color{Blue}{+\phi_z} 
& \cdot & \color{Green}{\cdot} & \color{Brown}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Cyan}{-\psi} & \color{Blue}{-\phi_x} & \color{Blue}{-\phi_y} & \color{Blue}{-\phi_z} & 0 
& \cdot & \cdot & \color{Green}{\cdots} & \cdot
\\
0 & 0  & 0  & 0 & 0 
& \cdot & \cdot & \cdots & \cdot
\\
\color{Cyan}{+ i\psi} & \color{Green}{+i\phi_x} & \color{Green}{+i\phi_y} & \color{Green}{+i\phi_z} & 0 
& \cdot & \cdot & \color{Blue}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{-i\chi_z} & \color{Brown}{+i\theta_y} & \color{Brown}{-i\theta_x} & 0 & \color{Green}{-i\phi_z} 
& \cdot & \color{Blue}{\cdot} & \color{Red}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Brown}{-i\theta_z} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_x} & \color{Green}{-i\phi_y} 
& \cdot & \color{Blue}{\cdot} & \color{Red}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{-i\chi_x} & 0 & \color{Brown}{+i \theta_z} & \color{Brown}{-i \theta_y} & \color{Green}{-i\phi_x} 
& \cdot & \color{Blue}{\cdot} & \color{Red}{\cdots} & \cdot
\\
0 & \color{Magenta}{+i\chi_x} & \color{Magenta}{+i\chi_y} & \color{Magenta}{+i\chi_z}  & \color{Cyan}{-i\psi}
& \cdot & \color{Cyan}{\cdot} & \color{Magenta}{\cdots} & \cdot
\\
\end{bmatrix}

ΣύμπτυξηEdit


\mathcal R = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\Chi_R} & \color{Cyan}{+\chi_t} 
& \cdot & \color{Cyan}{\cdot} & \color{Magenta}{\cdots} & \cdot 
\\
\color{Magenta}{+\Chi_C} & \color{Red}{\pm \Theta_{RC}}  & \color{Blue}{+\Phi_C} 
& \cdot & \color{Green}{\cdot} & \color{Brown}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \color{Blue}{-\Phi_R} & 0 
& \cdot & \cdot & \color{Green}{\cdots} & \cdot
\\
0 & 0 & 0
& \cdot & \cdot & \cdots & \cdot
\\
\color{Cyan}{+ i\chi_t} & \color{Green}{+i\Phi_R} & 0 
& \cdot & \cdot & \color{Blue}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{-i\Chi_R} & \color{Brown}{\pm i\Theta_{CR}} & \color{Green}{-i\Phi_C} 
& \cdot & \color{Blue}{\cdot} & \color{Red}{\cdots} & \cdot
\\
0 & \color{Magenta}{+i\Chi_R} & \color{Cyan}{-i\chi_t}
& \cdot & \color{Cyan}{\cdot} & \color{Magenta}{\cdots} & \cdot
\\
\end{bmatrix}

4D Απειροστή Μεταφορά-ΣτροφήEdit


\mathcal R ({\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Red}{\theta}}, {\color{Blue}{\phi}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z} & \color{Cyan}{+\chi_t} \\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y} & \color{Blue}{+\phi_x} \\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x} & \color{Blue}{+\phi_y} \\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x}  & 0  & \color{Blue}{+\phi_z} \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \color{Blue}{-\phi_x} & \color{Blue}{-\phi_y} & \color{Blue}{-\phi_z} & 0  
\end{bmatrix}

\mathcal R ({\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}, {\color{Brown}{i\theta}}, {\color{Green}{i\phi}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-i\chi_x} & \color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Magenta}{-i\chi_z} & \color{Cyan}{+i\chi_t} \\
\color{Magenta}{+i\chi_x} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_z} & \color{Brown}{-i\theta_y} & \color{Green}{+i\phi_x} \\
\color{Magenta}{+i\chi_y} &\color{Brown}{-i\theta_z} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_x} & \color{Green}{+i\phi_y} \\
\color{Magenta}{+i\chi_z} &\color{Brown}{+i\theta_y} & \color{Brown}{-i\theta_x}  & 0  & \color{Green}{+i\phi_z} \\
\color{Cyan}{-i\chi_t} & \color{Green}{-i\phi_x} & \color{Green}{-i\phi_y} & \color{Green}{-i\phi_z} & 0  
\end{bmatrix}

5D Απειροστή Χρονική ΑναστροφήEdit


\mathcal R ({\color{Cyan}{l_t}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Green}{0} & \color{Green}{0} & \color{Green}{0} & \color{Cyan}{+l_t} \\
\color{Green}{0} & 0 & \color{Red}{0} & \color{Red}{0} & \color{Blue}{0} \\
\color{Green}{0} & \color{Red}{0} & 0 & \color{Red}{0} & \color{Blue}{0} \\
\color{Green}{0} & \color{Red}{0} & \color{Red}{0}  & 0  & \color{Blue}{0} \\
\color{Cyan}{-l_t} & \color{Blue}{0} & \color{Blue}{0} & \color{Blue}{0} & 0  
\end{bmatrix}

4D Απειροστή Χωρική ΠεριστροφήEdit


\mathcal R ({\color{Green}{l}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Green}{-l_x} & \color{Green}{-l_y} & \color{Green}{-l_z}  \\
\color{Green}{+l_x} & 0 & \color{Red}{0} & \color{Red}{0}  \\
\color{Green}{+l_y} & \color{Red}{0} & 0 & \color{Red}{0}  \\
\color{Green}{+l_z} & \color{Red}{0} & \color{Red}{0}  & 0   \\
\end{bmatrix}

Μαθηματική ΔομήEdit

Εάν µια στροφή  R(\theta_1) τη διαδεχθεί µια άλλη στροφή ως προς γενικά έναν άλλο άξονα,  R(\theta_2) , τότε ο συνολικός µετασχηµατισµός θα είναι το γινόµενο των πινάκων

 R(\theta_2) R(\theta_1)

Αποδεικνύεται ότι το γινόμενο δύο στροφών είναι επίσης στροφή (κάτι που δεν είναι αυτονόητο), δηλαδή υπάρχει πάντοτε μία γωνία  \theta έτσι ώστε:

R(\theta) = R(\theta_2) R(\theta_1)

δηλαδή το σύνολο των στροφών είναι κλειστό στην πράξη της σύνθεσης ή ισοδυνάµως στην πράξη πολλαπλασιασμού των αντιστοίχων πινάκων τους.

Επειδή οι στροφές αφήνουν αναλλοίωτο το μέτρο των διανυσμάτων η μήτρα της στροφής είναι ορθογώνια δηλαδή το γινόµενο της μήτρας μιας στροφής επί την ανάστροφή της μήτρα δίνει τον ταυτοτικό μετασχηματισμό που αναπαρίσταται από τον μοναδιαίο πίνακα,  I , δηλαδή ισχύει ότι .

Eπειδή, όµως, το γινόµενο δύο στροφών κατά γωνία και κατά γωνία αντίστοιχα παράγει τον ταυτοτικό µετασχηµατισµό, δηλαδή , ο αντίστροφος πίνακας µιaς στροφής είναι και αυτός µiα στροφή και συγκεκριµένα η στροφή κατά την αντίθετη γωνία δηλαδή.

Ισχύει λοιπόν ότι οι πίνακες των στροφών έχουν αντίστροφους οι οποίοι είναι και αυτοί στροφές.

Το σύνολο των στροφών σχηµατίζει δηλαδή µια οµάδα, την επονοµαζόµενη οµάδα SΟ(3) (το Ο δηλώνει τον ορθογώνιο χαρακτήρα των στροφών που διατηρεί αναλλοίωτο το µέτρο των διανυσµάτων και το S (special) το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των πινάκων των στροφών ότι έχουν ορίζουσα +1, τέλος το 3 αναφέρεται στη διάσταση του χώρου στον οποίο ενεργούν οι στροφές.).

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

  • J. M. Keller, "Note on Reduction for the Rotation Group," Phys. Rev. 55, 508 (1939).
  • E. Schrödinger, Proc. Roy. Irish Acad. 47, 39 (1941).
  • J. Takahashi, "Generalized Spherical Harmonics as Representation Matrix Elements of Rotation Group," J. Phys. Soc. Jpn. 7, 307 (1952).
  • R. L Guernsey and G. B. Aftken, "A Vector Addition Coefficient Identity," Phys. Rev. 92, 1270 (1953).
  • F. Berencz and R. Pauncz, "Construction of S2 Eigenfunctions by Method of Spin Operators. I. General Theory," Proc. Phys. Soc. A 71, 145 (1958).
  • A. Meckler, "Majorana Formula," Phys. Rev. 111, 1447 (1958).
  • V. K. Perel, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 35, 685 (1958).
  • M. Rotenberg, R. Biyins, N. Metropolis and J. K. Wooten, The 3-J and 6-J Symbols (MIT, 1960).
  • E. Ambler, J. C. Eisenstein and J. F. Schooley, "Traces of Products of Angular Momentum Matrices," J. Math. Phys. 3, 118 (1962).
  • M. E. Rose, "Properties of the Irreducible Angular Momentum Tensors," J. Math. Phys. 3, 409 (1962).
  • W. T. Sharp, Racah Algebra and the Contraction of Groups, Report AECL-1098, CRT-935 (Atomic Energy of Canada, 1960).
  • V. Bargmann, "On the Representations of the Rotation Group," Rev. Mod. Phys. 34, 829 (1962).
  • S. L. Altmann, "On the Symmetries of Spherical Harmonics," Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 343 (1957).
  • S. L. Altmann and C. J. Bradley, "On the Symmetries of Spherical Harmonics," Phil. Trans. London A 255, 193 (1963).
  • D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum (Oxford, 1971).
  • P. Seagrave, "Representation of Permutation Operators in Quantum Mechanics," Nucl. Phys. 80, 674 (1966).
  • J.-N. Massot, E. El-Baz and J. Lafoucrière, "A General Graphical Method for Angular Momentum," Rev. Mod. Phys. 39, 288 (1967).
  • Y. Aharonov and L. Susskind, "Observability of the Change of Spinors Under 2π Rotations," Phys. Rev. 158, 1237 (1967).
  • H. J. Bernstein, "Spin Precession During Interferometry of Fermions and the Phase Factor Associated with Rotations Through 2π Radians," Phys. Rev. Lett. 18, 1102 (1967).
  • F. Bloch et al, eds., Spectroscopic and Group Theoretical Methods in Physics (North Holland, 1968).
  • P. H. Butler, Point Group Symmetry Applications: Methods and Tables (Plenum, 1981).
  • L. C. Biedenham and J. D. Louck, The Racah-Wigner Algebra in Quantum Theory (Addison-Wesley, 1981).
  • F. Wilczek, "Quantum Mechanics of Fractional-Spin Particles," Phys. Rev. Lett. 49, 957 (1982).
  • R. Jackiw and A. N. Redlich, "Two-Dimensional Angular Momentum in the Presence of Long-Range Magnetic Flux," Phys. Rev. Lett. 50, 555 (1983).

ΙστογραφίαEdit


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Also on Fandom

Random Wiki